Déterminer l'équation d'une droite

Cette math-fiche a pour objet de d'expliquer la façon la plus simple de déterminer l'équation réduite d'une droite de la forme $y=mx+p$ en connaissant les coordonnées de deux points de cette droite.

La méthode est assortie d'un exemple et propose une démonstration mais n'explique pas ce qu'est une équation de droite.

1. Méthode

Pour déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points A et B dont on connait les coordonnées respectives :

$A(x_A\ ;\ y_A)$
et $B(x_B\ ;\ y_B)$,
avec $x_A\neq x_B$,

Il faut simplement chercher à calculer les valeurs de $m$ et de $p$ dans l'équation réduite de la forme

$y=mx+p$

La valeur de m - le coefficient directeur - est donnée par l'application de la formule :

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Pour déterminer $p$ - l'ordonnée à l'origine - il suffit de résoudre l'équation d'inconnue $p$ :

$y_A=mx_A+p$

(donc $p=y_A-mx_A$)

2. Exemple de résolution de l'équation d'une droite

La droite $(AB)$ a pour équation : $y=mx+p$

Calcul de $m$ :
$m=\frac{-3-3}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2$

Calcul de $p$ :
$p$ est solution de l'équation $y_A=mx_A+p$ soit en remplaçant $yA$, $m$, et $xA$
$3=-1×(-2)+p$
$p=3-2$
$p=1$

$(AB)$ a donc pour équation $y=-2x+1$

3. Démonstration

$A$ et $B$ appartenant tous deux à la droite $(AB)$ dont l'équation réduite est de la forme $y=mx+p$, $m$ et $p$ sont solutions du système :

En soustrayant une ligne à l'autre $(2)-(1)$ on obtient :
$y_B-y_A=mx_B-mx_Ap$
$y_B-y_A=m(x_B-x_A)$

d'où :
$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

Pour déterminer $p$, il faut terminer la résolution du système en utilisant $(1)$ :

CQFD

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