Les suites arithmétiques en Première

Un cours relativement complet sur les suites arithmétiques au niveau de la classe de Première.

1 - Introduction

La suite des nombres entiers naturels de $1$ à $n$ :

$1, 2, 3, 4, 5, ..., n$

est l’exemple-type de suite arithmétique. On peut en calculer la somme des termes :

$S_n = 1 + 2 + 3 + ... + n$

en remarquant que lorsqu’on écrit les $n$ premiers termes de gauche à droite et de droite à gauche les uns en dessous des autres, leur somme deux-à-deux en colonne est constamment égale à $n + 1$.

$S_n = 1 + 2 + 3 + . . . + n - 2 + n - 1 + n$
$S_n = n + n - 1 + n - 2 + . . . + 3 + 2 + 1$
$\rule{10cm}{.5pt}$
$2 \times S_n = n + 1 + n + 1 + n + 1 + ... + n + 1 + n + 1 + n + 1$

Alors, on en déduit que :

$2 \times S_n = n \times (n + 1)$

c’est-à-dire

$\boxed{1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}}$

On peut en déduire la valeur de la somme des $n$ premiers multiples d’un nombre $a$ en factorisant :

$a + 2a + 3a + ... + n a = \dfrac{n(n + 1)}{2} \times a$.

2 - Définition

De façon générale, une suite $(u_n)_ n$ dont les premiers termes sont

$u_0, u_1, u_2, ..., u_n$

est appelée suite arithmétique lorsqu’on passe d’un terme quelconque au terme suivant par addition d’une constante $r$, c’est-à-dire que l’écart entre deux termes quelconques est constant, ou encore que, pour tout entier $n$ on a la relation :

$u_{n+1} = u_n + r$.

Le nombre $r$ est appelé raison de la suite $(u_n)_ n$.

Par exemple, la suite de nombres :

$u_0 = 1$, $u_1 = 4$, $u_2 = 7$, $u_3 = 10$, $u_4 = 13$, etc.

sont en progression arithmétique de raison $3$.

Généralement, pour une suite arithmétique $(u_n)$ de raison $r$, on a :

$u_1 = u_0 + r$
$u_2 = u_1 + r = u_0 + 2r$
$u_3 = u_2 + r = u_1 + 2r = u_0 + 3r$
...
$u_n = u_{n-1} + r = u_{n-2} + 2r = u_{n-3} + 3r = ... = u_0 + n r$

On peut se représenter la situation au moyen d’un schéma comme celui-ci

$u_0 \xrightarrow{+r} u_1 \xrightarrow{+r} u_2 \xrightarrow{+r} u_3 \xrightarrow{+r} ... \xrightarrow{+r} u_n \xrightarrow{+r} u_{n+1}$

3 - Propriétés

Avec ce qui précède, on peut enoncer d’importantes propriétés des suites arithmétiques pour leur terme général et la somme de leurs termes consécutifs.

Expression du terme général.

Propriété 1

Caractérisation.

Soient deux nombres $p$ et $r$. Considérons la suite $(U_n)$ définie pour tout entier $n$ par :

$U_n = p + n \times r$.

Alors, son premier terme est $U_0 = p$ et cette suite est manifestement arithmétique de raison $r$. En effet, pour tout $n$, la différence :

$U_{n+1} - U_n = p + (n + 1)r + p - n r = r$

est constante égale à $r$. On en déduit donc :

Propriété 2

Remarques:
Cette propriété caractérise les suites arithmétiques, en décrivant la forme de leur terme général $u_n$, qui est fonction affine de l’indice $n$.
D’un point de vue méthodique, il faut noter que, pour montrer qu’une suite $(u_n)$ est arithmétique, il suffit de montrer que la différence de deux termes consécutifs $u_{n+1} - u_n$ ne dépend pas de l’indice $n$.

Somme des premiers termes.

Soit une suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0$ et de raison $r$. Considérons alors la somme des termes jusqu’au rang $n$ (on parle parfois de totalisation des termes)

$S_n = u_0 + u_1 + u_2 + ... + u_n$.

Alors, la propriété 1 permet d’écrire

$S_n = u_0 + u_0 + r + u_0 + 2r + ... + u_0 + n \times r$

c’est-à-dire

$S_n = (n + 1)u_0 + r + 2r + ... + n \times r$.

Avec la formule de la section 1, on obtient :

$Sn = (n + 1)u_0 + \dfrac{n(n + 1)}{2} \times r$

c’est-à-dire

$S_n = (n + 1) \bigg(u_0 + \dfrac{n}{2} \times r\bigg)= (n+1) \dfrac{2u_0 + n \times r}{2}$

On peut aller plus loin en écrivant :

$S_n = (n + 1) \dfrac{u_0 + u_0 + n \times r}{2} = (n + 1) \dfrac{u_0 + u_n}{2}$.

Propriété 3

Nombres en progression arithmétique.

Trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont en progression arithmétique lorsqu’il existe un nombre $r$ tel que $a = b - r$ et $c = b + r$.

C’est-à-dire que $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique dont la raison est $r$.

Propriété 4

Complément.

Les propriétés 1 et 3 peuvent être données sous une forme plus générale.

Propriété 5

Soient $n > k$ deux nombres entiers. Alors, on a : $u_n = u_k + (n - k) \times r$

et d’autre part :

$u_k + u_{k+1} + ... + u_n = (n - k + 1) \dfrac{u_k + u_n}{2}$.

On peut donc atteindre n’importe quel terme à partir d’un terme précédent ; on peut aussi calculer la somme des termes consécutifs pris entre deux termes quelconques d’une suite arithmétique.

Cours vidéo

Cette vidéo donne la définition d'une suite arithmétique - par récurrence - et la formule du terme général.

La vidéo explique de façon imagée par un tableau le mode de génération de la suite arithmétique et en donne la définition par récurrence $u_{n+1}=u_n+r$.

L'explication sous forme de tableau conduit très naturellement à comprendre la formule du terme général $u_n=u_0+nr$ puis $u_n=u_p+(n-p)r$

Vidéo proposée par kiffelesmaths.com

4 Applications immédiates

• Question 1

Une suite arithmétique $(u_n)$ a pour premier terme $u_0 = 30$ et pour 11e terme $u_{10} = 70$.

Déterminer l’expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$.

• Question 2

Calculer le 30e terme de la suite arithmétique de premier terme $3$ et de raison $5$.

Calculer le 12e terme d’une suite arithmétique de raison $-4$ et de premier terme $1$.

• Question 3

Calculer le premier terme d’une suite arithmétique de raison $3$ connaissant son 8e terme égal à $70$.

• Question 4

Une suite arithmétique a pour premier terme $20$, pour 15e terme $62$. Calculer sa raison.

• Question 5

Calculer la somme des 15 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $10$ et de raison $3$.

• Question 6

Le 10e terme d’une suite arithmétique est $21$ et la somme de ces 10 premiers termes est $120$. Calculer le premier terme et la raison.

• Question 7

Calculer la somme des $1000$ premiers nombres entiers.
Calculer la somme des $50$ premiers multiples de $3$.
Calculer la somme des $100$ premiers nombres impairs.

• Question 8

Déterminer combien il faut totaliser de termes successifs de la suite arithmétique de premier terme $\dfrac{1}{2}$ et de raison $\dfrac{1}{3}$ pour que leur somme soit égale à $48$.

• Question 9

Calculer trois nombres en progression arithmétique tels que leur somme soit $27$ et la somme de leurs carrés soit $221$.

• Question 10

Trouver quatre nombres en progression arithmétique de raison $4$ tels que leur produit soit égal à $585$.

Cours et exercices proposés par Zauctore

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