Résolution d’équations du second degré

Des exemples d'application pratique des formules pour trouver les solutions d'une équation du second degré - sans démonstration ici !

Niveau débutant en Première.

1 - Formules

Pour résoudre une équation du second degré de la forme : $a x^2 + bx + c = 0$, $(1)$
où $a$, $b$ et $c$ sont des paramètres numériques, une démarche systématique consiste à appliquer la méthode suivante.

On calcule d’abord le discriminant de l’équation ; c’est le nombre $\Delta = b^2 - 4 ac$.

• si $\Delta$ est strictement positif, alors on calcule une solution $x' = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2 a}$ et on en déduit l’autre solution
  $x" =\dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2 a}$

• si $\Delta$ est égal à $0$, alors la seule solution est donnée par $u = \dfrac{-b}{2a}$

• si $\Delta$ est strictement négatif, alors l’équation $(1)$ n’a pas de solution réelle, c’est-à-dire que $ax^2 + b x + c$ n’est jamais égal à $0$.

Les justifications de ces formules se trouvent dans le cours ´ Equations du second degré.

2 - Exemples

Résoudre l’équation $x^2 - 2 x - 2 = 0$. $(2)$

Alors, avec $a = 1$, $b = -2$ et $c = -2$, on calcule le discriminant $\Delta = (-2)^2 - 4 \times (-2) = 12$.

Puisque $\Delta > 0$, on calcule la première solution

$x' = \dfrac{2 - \sqrt{12}}{2} = \dfrac{2 - 2\sqrt{3}}{2}$
$x' = 1 - \dfrac{2}{\sqrt{3}}$

c’est-à-dire en simplifiant
$\boxed{x' = 1 + \sqrt{3}}$

On en déduit donc l’autre solution, conjuguée de la première :

$\boxed{x" = 1 + \sqrt{2}}$

Remarque : il ne faut pas refaire tous les calculs pour obtenir la deuxième solution, puisqu’il suffit de changer le signe devant la racine du discriminant ; en effet, la formule s’écrit $x = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)$

Résoudre l’équation $3 x^2 - 5x + 2 = 0$. $(3)$

On calcule le discriminant, avec $a = 3$, $b = -5$ et $c = 8$.

On a $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times 2 = 1$ et puisque $\Delta > 0$, on calcule la première solution :

$x' = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2 \times 3} = \dfrac{4}{6}$

c’est-à-dire en simplifiant :

$\boxed{x' = \dfrac{2}{3}}$

et on en déduit la seconde solution :

$x" = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2 \times 3} = \dfrac{6}{6}$

$\boxed{x" = 1}$

Remarque : la valeur $x = 1$ aurait pu facilement être "devinée" : c’est une racine évidente du polynôme $3 x^2 - 5 x + 1$.

Résoudre l’équation $9 x^2 + 12 x + 4 = 0$. $(4)$

Le calcul du discriminant donne $\Delta = 12^2 - 4 \times 9 \times 4 = 0$.

Alors, l’équation n’a qu’une seule solution, donnée par :

$u = \dfrac{-12}{ 2 \times 9}$

c’est-à-dire en simplifiant

$\boxed{u = -\dfrac{2}{3}}$

Résoudre l’équation $x^2 - 2 x + 2 = 0$. $(5)$

Le discriminant est : $\Delta = (-2)^2 - 4 \times 2 = -4$.

Puisque $\Delta < 0$, cette équation n’a aucune solution parmi les nombres réels.

Résoudre l’équation $5 x^2 - 10x + 6 = 0$. $(6)$

Le calcul du discriminant donne $\Delta = (-10)^2 - 4 \times 5 \times 6 = -20$.

Puisque $\Delta$ est négatif, cette équation n’a aucune solution.

Extension :

Le cas de coefficients fractionnaires, ou contenant des radicaux, etc... n’a pas été envisagé ici dans un but de simplification.
Les formules restent malgré tout applicables dans le cas d’équations comme $\dfrac{3}{4} x^2 - \dfrac{5}{3} x + \dfrac{1}{2} = 0$

ou bien même : $x^2 \sqrt{5} - 2 \pi x + 1{,} 5 = 0$.

Par Zauctore

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