Suites numériques : suites arithmétiques, géométriques, récurrentes et généralités

1 - Suites arithmétiques

Définition.

Ce nombre $r$ est appelé la raison de la suite.

Relations entre les termes.

La suite $(u_n)_ n$ est arithmétique de raison $r$.

Alors on a :
a) pour tout entier $n$

$\begin{aligned} u_n = u_0 + n \times r && (2)\\ \end{aligned}$

b) pour tous entiers $k \leqslant n$

$\begin{aligned} u_n = u_k + (n-k) \times r && (3)\\ \end{aligned}$

Somme des termes successifs.

Avec $(u_n)_ n$ arithmétique de raison $r$, alors on a :

a) à partir du premier terme $u_0$ jusqu’au rang $n$

$\begin{aligned} u_0+ u_1 + u_2 + ... + u_n = (n + 1) \times \frac{u_0 + u_n}{2} && (4)\\ \end{aligned}$

b) à partir d’un terme de rang $k$ jusqu’au rang $n \geqslant k$

$\begin{aligned} u_k + u_{k+1} + u_{k+2} + ... + u_n = (n - k + 1) \times \dfrac{u_k + u_n}{2} && (5)\\ \end{aligned}$

Deux résultats remarquables.

1) La somme des $n$ premiers entiers consécutifs

$\begin{aligned} 1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{n \times(n + 1)}{2} && (6)\\ \end{aligned}$

2) Trois nombres $a$, $b$ et $c$ sont dans cet ordre des termes consécutifs d’une suite arithmétique si, et seulement si :

$\begin{aligned} b = \dfrac{a + c}{2} && (7)\\ \end{aligned}$

2 Suites géométriques

Définition.

Ce nombre $q$ est appelé la raison de la suite.

Relations entre les termes.

La suite $(v_n)_ n$ est arithmétique de raison $q$.

Alors on a :
a) pour tout entier $n$

$\begin{aligned} v_n = v_0 \times q^n && (9)\\ \end{aligned}$

b) pour tous entiers $k \leqslant n$

$\begin{aligned} v_n = v_k \times q^{n-k} && (10)\\ \end{aligned}$

Somme des termes successifs.

Avec $(v_n)_ n$ géométrique de raison $q$, alors :

a) à partir du premier terme $v_0$ jusqu’au rang $n$

$\begin{aligned} v_0 + v_1 + v_2 + ... + v_n = v_0 \times \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} && (11)\\ \end{aligned}$

b) à partir d’un terme de rang $k$ jusqu’au rang $n \geqslant k$

$\begin{aligned} v_k + v_{k+1} + v_{k+2} + ... + v_n = v_k \times \dfrac{1 - q^{n-k+1}}{1 - q} && (12)\\ \end{aligned}$

Deux résultats remarquables.

La somme des $n$ premières puissances successives de $q$ :

$\begin{aligned} 1 + q + q^2 + ... + q^n =\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} && (13)\\ \end{aligned}$

Trois nombres positifs $a$, $b$ et $c$ sont dans cet ordre des termes successifs d’une suite géométrique si, et seulement si :

$\begin{aligned} b = \sqrt{a \times c} && (14)\\ \end{aligned}$

Limite.

Lorsque la raison $q$ d’une suite géométrique $(v_n$) est telle que :

$\begin{aligned} -1 < q < 1 && (15)\\ \end{aligned}$

alors les valeurs $v_n$ de la suite se rapprochent indéfiniment de $0$ lorsque $n$ devient grand : la suite $(v_n)$ tend vers $0$.

3 Généralités

Monotonie.

Bornes.

Convergence.

Une suite $(u_n)$ a pour limite un nombre $l$ lorsque les nombres $u_n$ se rapprochent indéfiniment de $l$ pour des entiers $n$ de plus en plus grands.

On dit alors que la suite $(u_n)$ converge vers $l$, ou encore qu’elle est convergente, de limite $l$.

Ceci se note par le symbole :

$\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = l$

De façon plus formelle, ceci se traduit par le fait que pour toute précision $\varepsilon > 0$ fixée, il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n$ :

$\begin{aligned} n \geqslant N \Rightarrow - \varepsilon \leqslant u_n - l \leqslant \varepsilon && (16)\\ \end{aligned}$

Voici un théorème d’usage fréquent pour s’assurer de l’existence d’une limite pour une suite donnée.

Propriété 1

Voici un autre théorème important.

Propriété 2

C’est un théorème d’encadrement de limites.

Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes lorsque les trois conditions suivantes sont réunies :

• $(u_n)$ est croissante,

• $(v_n)$ est décroissante,

• pour tout $n$, on a $u_n \leqslant v_n$.

Alors si de plus la différence $u_n - v_n$ tend vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ , alors les deux suites sont convergentes et ont la même limite.

4 Suites récurrentes

Définition

Variation.

Le sens de variation de la fonction $f$ peut donner des renseignements sur celui de la suite.

Propriété 3

Limite éventuelle.

Si une suite récurrente telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ possède une limite $l$, alors cette limite $l$ est nécessairement solution de l’équation :

$\begin{aligned} f(x) = x && (17)\\ \end{aligned}$

Ceci fournit un moyen de calcul de limite, à condition de savoir si la suite est convergente.

Par Zauctore

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