Formules de trigonométrie

Les formules de trigonométrie sont essentielles quel que soit le niveau (au collège en 3ème, au lycée en 1ère ou Terminale, ou encore dans le supérieur en prépa ou en MPSI), mais un rappel complet n'est pas superflu.

On a toujours besoin d'une fiche avec l'ensemble des formules, et c'est pourquoi nous vous avons préparé un rappel complet sur les formulaires de trigonométrie, avec au programme :

Les relations fondamentales
Les transformations remarquables
Les angles remarquables
Les équations trigonométriques
Les formules d'addition
Et enfin les formules de duplication

Bonne lecture et n'hésitez pas à l'imprimer comme vous le feriez avec un pdf ;)

Rendez-vous également sur le forum pour toutes vos questions sur les formules de trigonométrie.

I - Généralités sur les formules de trigo

1.1 Relations fondamentales

$tan (x)= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

Petite astuce de Nelly: Pour se souvenir de la formule précédente, je me dis que tangente c'est Soleil sur Carottes ! D'où sin sur cos...si ça peut aider!

$\sin^2 (x)+ \cos^2(x) = 1$

$\sin^2 (x)= \frac{\tan^2(x)}{1 + \tan^2(x)}$

$\cos^2 (x)=\frac{1}{1 + \tan^2(x)}$

1.2 Transformations remarquables

Passons maintenant aux transformations remarquables :

$\sin (2\pi + x) = \sin (x)$
$\cos (2\pi + x) = \cos (x)$
$\tan (2\pi + x) = \tan (x)$

$\sin(-x) = - \sin (x)$
$\cos (-x) = \cos (x)$
$\tan (-x) = - \tan (x)$

$\sin (\pi - x) = \sin(x)$
$\cos (\pi - x) = - \cos(x)$
$\tan (\pi - x) = - \tan(x)$

$\sin (\pi + x) = - \sin (x)$
$\cos (\pi + x) = - \cos (x)$
$\tan (\pi + x) = \tan (x)$

$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos (x)$
$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin (x)$
$\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan (x)}$

$\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos (x)$
$\cos(\frac{\pi}{2} + x) = - \sin (x)$
$\tan(\frac{\pi}{2} + x) = - \frac{1}{\tan (x)}$

$\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = - \cos (x)$
$\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = - \sin (x)$
$\tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \frac{1}{\tan (x)}$

$\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = - \cos (x)$
$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin (x)$
$\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = - \frac{1}{\tan (x)}$

1.3. Angles remarquables

$x$	$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\tan(x)$	$\text{cotan}(x)$
0	0	1	0	/
$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	${\frac{\sqrt3}{2}}$	${\frac{\sqrt3}{3}}$	$\sqrt3$
$\frac{\pi}{4}$	${\frac{\sqrt2}{2}}$	${\frac{\sqrt2}{2}}$	1	1
$\frac{\pi}{3}$	${\frac{\sqrt3}{2}}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt3$	${\frac{\sqrt3}{3}}$
$\frac{\pi}{2}$	1	0	/	0
$\pi$	0	-1	0	/

1.4. Equations trigonométriques

$k$ appartient à Z

$\sin (a) = \sin(b)$
alors $a = b + 2k\pi$
ou $a = \pi - b + 2k\pi$

$\cos (a) = cos(b)$
alors $a = b + 2k\pi$
ou $a = -b + 2k\pi$

$\tan (a) = \tan(b)$
alors $a = b + k\pi$

II - Formules d'addition

$\sin (a + b) = \sin (a)\cos (b) + \sin (b)\cos (a)$
$\sin (a - b) = \sin (a)\cos (b) - \sin (b)\cos (a)$
$\cos (a + b) = \cos (a)\cos (b) - \sin (a)\sin (b)$
$\cos (a - b) = \cos (a)\cos (b) + \sin (a)\sin (b)$
$\tan (a + b) = \frac{\tan (a) + \tan (b)}{1 - \tan (a)\tan (b)}$
$\tan (a - b) = \frac{\tan (a) - \tan (b)}{1 + \tan (a)\tan (b)}$

$\sin (p) + \sin (q) = 2\sin (\frac{p + q}{2})\cos (\frac{p - q}{2})$
$\sin (p) - \sin (q) = 2\sin (\frac{p - q}{2})\cos (\frac{p + q}{2})$
$\cos (p) + \cos (q) = 2\cos (\frac{p + q}{2})\cos (\frac{p - q}{2})$
$\cos (p) - \cos (q) = -2\sin (\frac{p + q}{2})\sin (\frac{p - q}{2})$
$\tan (p) + \tan (q) = \frac{\sin (p + q)}{\cos (p)\ cos(q)}$
$\tan (p) - \tan (q) = \frac{\sin (p - q)}{\cos (p)\ cos(q)}$

$\sin (a)\sin (b) = \frac{1}{2}(\cos (a - b) - \cos (a + b))$
$\cos (a)\cos (b) = \frac{1}{2}(\cos (a + b) + \cos (a - b))$
$\sin (a)\cos (b) = \frac{1}{2}(\sin (a + b) + \sin (a - b))$

III - Formules de duplication

$\sin (2a) = 2\sin (a)\cos (a)$
$=\frac{2\tan (a)}{1 + \tan^2 (a)}$

$\cos (2a) = \cos^2 (a) - \sin^2 (a)$
$= 2\cos^2 (a) - 1$
$= 1 - 2\sin^2 (a)$

$\tan (2a) = \frac{2\tan (a)}{1 - \tan^2 (a)}$

$\sin^2 (a) = \frac{1-\cos(2a)}{2}$
$\cos^2 (a) = \frac{1+\cos (2a)}{2}$
$\tan^2 (a) = \frac{1 - \cos (2a)}{1 + \cos (2a)}$

$\tan(a) = \frac{\sin (2a)}{1 + \cos (2a)}$
$= \frac{1 - \cos (2a)}{\sin (2a)}$

En posant $t = \tan (\frac{a}{2})$ :

$\sin (a) = \frac{2t}{1 + t^2}$
$\cos (a) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$
$\tan (a) = \frac{2t}{1 - t^2}$

Formule de Moivre

$(\cos (a) + i\sin (a))^n = \cos (na) + i\sin (na)$

Formules d'Euler

$\cos (\theta) = \frac{1}{2}(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$
$\sin (\theta) = \frac{1}{2i}(e^{i\theta}- e^{-i\theta})$

IV - Quand retrouve-t-on les formules trigonométriques ?

On retrouve la trigonométrie dès la 3ème (vous pouvez en retrouver les détails sur ce cours), avec des notions simples sur l'hypoténuse, et la découverte du sinus et du cosinus. On l'utilise généralement dans le calcul de longueur ou la mesure d'angles.

Toutefois, les formules de trigonométries plus complexes sont généralement abordées au lycée et plus particulièrement à partir de la Première S (nous vous renvoyons dans ce cas à notre fiche dédiée à ce niveau).

Pour ceux qui vont plus loin dans le domaine des mathématiques et qui peuvent intégrer les filières d'excellence, les formules de trigonométrie sont également abordées dans la filière Math Sup, Math Spé, à des niveaux toutefois bien plus complexes. Une complexité pas toujours évidente à appréhender pour tous les élèves. Les classes préparatoirs sont en effet exigeantes et demandent énormement de travail. Elles nécessitent parfois d'avoir recours à des cours particuliers ou des stages spécialisés, avec un accompagnement personnalisé permettant aussi bien de reprendre les bases que d'approfondir certaines notions.

Il existe de nombreux organismes proposant stage maths sup ou des stage maths spé, mais citons peut-être simplement les Cours Thalès, créés depuis 2007 et qui se sont spécialisés dans l'accompagnement des filières d'excellence comme les classes préparatoires en maths. Soutien scolaire, accompagnement ponctuel ou même stages intensifs, leur offre permet d'offrir un large panel de services aux élèves de classes prépa afin de les aider dans ces 2-3 années particulièrement éprouvantes.