Calcul barycentrique

Classe de Première.

Cours (sans démonstration) rappelant l'essentiel sur les barycentres.

1 - Introduction

Deux masses, l’une de $3$ kg et l’autre de $7$ kg, sont fixées aux extrémités d’une barre comme représenté ci-dessous.

Le point d’équilibre $G$ de cette barre est le point où s’équilibrent les forces exercées par ces masses ; celui-ci doit être tel que :

$3\overrightarrow{GA} = -7\overrightarrow{GB}$

C'est-à-dire :

$3\overrightarrow{GA} + 7\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$

Ce qui se traduit (après calculs) par :

$\overrightarrow{AG} = \dfrac{7}{10} \overrightarrow{AB}$

Cette égalité détermine parfaitement la position d'équilibre de la barre.

2 - Définitions

Soient $(A; a)$ et $(B ; b)$ deux points points pondérés- c’est-à-dire affectés d’un coefficient : $a$ est le coefficient de $A$ , $b$ est celui de $B$ .

Théorème 1

Si $a + b \neq 0$ , alors il existe un unique point $G$ tel que :
$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}$

Définition 1

Lorsqu’il existe, ce point $G$ unique est appelé barycentre du
système de points pondérés $(A; a)$ et $(B ; b)$ .

Remarque. Lorsque $a+b = 0$ , il n’est pas possible de définir le barycentre de $(A; a)$ et $(B ; b)$ .
On retiendra, lorsque $a + b \neq 0$

$\boxed{G = bary{(A; a) ; (B ; b)} \Longleftrightarrow a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB}= \overrightarrow{0}}$

Le théorème et la définition s’étendent au cas d’un système de trois points pondérés $(A; a)$ , $(B ; b)$ et $(C ; c)$ , lorsque $a + b + c \neq 0$ .

Dans ce cas, on a l’existence et l’unicité du point G tel que :
$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC}= \overrightarrow{0}$

De la même manière, si $a+b+...+n \neq 0$ , alors il existe un et un seul point $G$ tel que
$a\overrightarrow{GA}+b\overrightarrow{GB} + ... + n\overrightarrow{GN}= \overrightarrow{0}$

3 - Propriétés

Propriété 1 (Position)

_Pour $a + b \neq 0$ , $G$ est le barycentre de $(A; a)$ et
$(B ; b)$ , si, et seulement si

$\overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b}\overrightarrow{AB}$

De même, on a :

$\overrightarrow{BG} = \dfrac{a}{a+b}\overrightarrow{BA}$

Le barycentre de deux points $A$ et $B$ est donc aligné avec ceux-ci ; inversement, tout point situé sur la droite $(AB)$ peut être vu comme un barycentre de $A$ et $B$ . Lorsque l’on a $a > 0$ et $b > 0$ alors $G$ est situé sur le segment $[AB]$ (privé de ses extrémités)._

La propriété $1$ s’étend au cas d’un nombre fini quelconque de points pondérés dont la somme des coefficients est non-nulle. Dans le cas de trois points, si $a + b + c \neq 0$ , alors :

$G = bary{(A; a) ; (B ; b) (C ; c)} \Longleftrightarrow \overrightarrow{AG} = \dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB} +\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}$

Tout barycentre de trois points (non-alignés) est situé dans le plan défini par ceux-ci.

La réciproque est vraie. Lorsque l’on a $a > 0$ , $b > 0$ et $c > 0$ , alors $G$ est à l’intérieur du triangle $ABC$ .

La propriété $1$ découle de la relation de Chasles, appliquée dans la définition du barycentre.

C’est cette propriété qui permet de construire le barycentre de deux ou trois points.

Propriété 2 (Condensation, réduction)

Pour $a + b \neq 0$ , $G$ est le barycentre de $(A; a)$ et $(B ; b)$ , si, et seulement si, pour tout point $P$ , on a :
$a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} = (a+b)\overrightarrow{PG}$

Cette propriété s’étend à plusieurs points : si $a + b + c \neq 0$ , le barycentre $G$ de ${(A; a) ; (B ; b) (C ; c)}$ est caractérisé par le fait que, pour tout $P$ :

$a\overrightarrow{PA} + b\overrightarrow{PB} + c\overrightarrow{PC}= (a+b+c)\overrightarrow{PG}$

La Propriété 2 est une conséquence de la relation de Chasles.

Cette propriété permet de réduire certaines sommes vectorielles (voir l’exemple type en fin d’article).

Propriété 3 (Linéarité)

Soit $G$ le barycentre de $(A; a)$ et $(B ; b)$ , avec $a + b \neq 0$ .
Alors pour tout $k \neq 0$ , $G$ est aussi le barycentre de $(A; a \times k)$ et $(B ; b \times k)$ , ou même de $(A; a \div k)$ et $(B ; b \div k)$ .

Cela signifie que l’on peut multiplier tous les coefficients (ou les diviser) par un même nombre non-nul sans changer le barycentre.

Cette propriété s’étend à un nombre fini quelconque de points.

Propriété 4 (Associativité)

Soit $G$ le barycentre de $(A; a)$ , $(B ; b)$ et $(C ; c)$ , avec $a + b + c \neq 0$ . Si $a + b \neq 0$ , alors le barycentre $H$ de $(A; a)$ et $(B ; b)$ existe et dans ce cas, $G$ est encore le barycentre de $(H ; a + b)$ et $(C ; c)$ .

C’est-à-dire qu’on peut remplacer quelques points par leur barycentre (partiel), à condition de l’affecter de la somme de leurs coefficients.

Cette propriété s’´etend à un nombre fini quelconque de points.

Ceci permet de construire le barycentre de plusieurs points.

Cas particulier.

Le milieu $I$ d’un segment $[AB]$ est en fait le barycentre de $(A; 1)$ et $(B ; 1)$ , ou même de $(A; m)$ , $(B ; m)$ , pour tout $m \neq 0$ .
C’est l’isobarycentre des points $A$ et $B$ .

Cette notion s’étend au cas d’un nombre fini quelconque de points.
Dans le cas de trois points $A$ , $B$ et $C$ , on retrouve
le centre de gravité du triangle $ABC$ .

Exemple-type

1. Trouver tous les points $M$ du plan tels que : $\| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 3$

Avec le barycentre $G$ de $(A; 1)$ et $(B ; 2)$ , on obtient d’après la propriété 2 (propriété de réduction)

$\| 3 \overrightarrow{MG}\| = 3$

ce qui définit le cercle de centre $G$ et de rayon $1$ .

2. Trouver tous les points $M$ du plan tels que $\| \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = \| 4\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MD}\|$

Avec les barycentres
– $G$ de $(A; 1)$ et $(B ; 2)$
– $H$ de $(C ; 4)$ et $(D; -1)$

On peut réduire ceci à l’aide de la propriété 2.

$\| 3\overrightarrow{MG}\| = \| 3\overrightarrow{MH}\|$

Ce qui définit la médiatrice du segment $[GH]$ .

Par Zauctore