Cours sur les puissances

A partir de la classe de 4e.

Voici un condensé de cours sur les puissances : règles de calcul et forme scientifique des nombres décimaux.

L’écriture des nombres sous forme de puissances se prête à des règles de calcul simples.

1. Définitions

et de façon générale,

$\boxed{a^n = a \times a \times .... \times a}$ $(3)$

Ici avec $n$ entier $\geqslant 3$.

Dans cette dernière ligne, le nombre $a$ figure $n$ fois.
Le symbole $a^n$ représente donc le résultat de la multiplication de $a$ par lui-même autant de fois qu’indiqué par $n$. On dit que $a^n$ est la puissance n-ième de $a$, et $n$ est appelé exposant de cette puissance.

Cette définition admet pour extensions les importants cas particuliers suivants :

$a^1 = a$ et $a^0 = 1$ $(4)$

On est conduit à poser (en cohérence avec les règles de calcul de la section suivante les définitions suivantes)

$a^{-1} =\dfrac{1}{a}$ $(5)$

$a^{-2} =\dfrac{1}{a^2}$ $(6)$
etc...

et plus généralement

$\boxed{a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}}$ $(7)$

où $n$ est ici un nombre entier positif. Le symbole $a^{-n}$ désigne l’inverse de la puissance $a^n$, ce qui définit les puissances d’exposant négatif.

On a donc l’égalité :
$a^n \times a^{-n} = 1$. $(8)$

2. Règles de calcul

Pour tous entiers $n$ et $p$, pour tous nombres $a$ et $b$, on a les propriétés suivantes, qui permettent les calculs sous forme de puissance.

Propriété 1 - Produit de puissances

$\boxed{a^n \times a^p = a^{n+p}}$ $(9)$

Par exemple, on a :

$7^3 \times 7^{-5} = 7^{3+(-5)} = 7^{-2}$. $(10)$

Il suffit d’ajouter les exposants en respectant les règles de la somme des nombres relatifs.

Propriété 2 - Puissance de puissances

$\boxed{(a^n)^p= a^{n \times p}}$ $(11)$

Par exemple, on a :

$(5^{-4})^3 = 5^{-4 \times 3} = 5^{-12}$. $(12)$

Il suffit de multiplier les exposants en respectant les règles du produit des nombres relatifs.

Propriété 3 - Quotient de puissances

$\boxed{\dfrac{a^n}{a^p} = a^{n-p}}$ $(13)$

Par exemple, on a :

$\dfrac{10^{-8}}{10^{-15}} = 10^{-8-(-15)} = 10^7$. $(14)$

Il semble malgré tout préférable (dans un premier temps) de calculer ce genre ce quotient en utilisant les importantes égalités :

$\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ et $\dfrac{1}{a^{-n}} = a^n$

Et de cette façon on écrit plutôt :

$\dfrac{10^{-8}}{10^{-15}} = 10^{-8} \times \dfrac{1}{10^{-15}} = 10^{-8} \times 10^{15} = 10^7$ $(15)$

Ceci permet de n’utiliser que la règle du produit de puissances.

Propriété 4 - Produit de puissances de même exposant

$\boxed{a^n \times b^n = (a \times b)^n}$ $(16)$

Par exemple, on a : $2^3 \times 5^3 = 10^3$. $(17)$

3 - Cas particulier des puissances de 10

Lorsque $a = 10$, on obtient par exemple les résultats suivants :

et de façon générale, pour tout entier $n$ positif, on a :

$10^n$ = $\underbrace{10...0}_{\text{n zéros}}$ et $10^{-n}$ = $\underbrace{0{,}... 0}_{\text{n zéros}}$. $(18)$

L’utilité de ces égalités réside dans les changements d’écriture de certains nombres décimaux.

Par exemple, on a :
$180 500 000 = 1 805 \times 100 000 = 1805 \times 10^5$ $(19)$

On peut aussi continuer en écrivant
$1805 = 1{,}805 \times 1 000 = 1{,}805 \times 10^3$.

On en déduit finalement l’écriture scientifique du nombre initial :
$180500000 = 1{,} 805 \times 10^3 \times 10^5 = \boxed{1{,}805 \times 10^8}$ $(20)$

Dans le cas de nombres positifs moindres que $1$, on a par exemple :
$0{,}000000732 = 7{,}32 \times 0{,}0000001 = \boxed{7{,} 32 \times 10^{-7}}$ $(21)$

De façon générale, un nombre décimal $D > 0$ est écrit sous forme scientifique lorsqu’on a l’égalité :

où $k$ est un entier relatif et $d$ est un nombre décimal.

Par Zauctore

Toutes nos vidéos sur cours sur les puissances