Évolutions en pourcentages

En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement.

1. Multiplicateur associé à une évolution

On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage.

Dans ce qui suit, on considère que la lettre $x$ désigne un taux de pourcentage positif.

Propriété 1

Exemples :

• le prix d'un objet augmente de $30$ % si et seulement si ce prix est multiplié par $1 + \frac{30}{100}$, c'est-à-dire par $1{,}3$ ;

• un prix est multiplié par $2{,}5$ si et seulement s'il augmente de $150$ % ; en effet, on a $1 + \dfrac{x}{100} = 2{,}5 \Leftrightarrow x=150$ .

Démonstration

Nommons $Y_i$ la valeur initiale de la grandeur $Y$.

On l'augmente de $x$ % : la valeur de la hausse $h$ est donc

$h = \dfrac{x}{100} \times Y_i$

La valeur finale $Y_f$ de la grandeur $Y$ est donc égale à :

$Y_f = Y_i +h = Y_i + \dfrac{x}{100} \times Y_i$

D'où, en factorisant par $Y_i$, l'expression :

$Y_f = Y_i \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg)$

Propriété 2

Exemples :

• diminuer un prix de $10$% revient à le multiplier par $0{,}9$;

• multiplier un prix par $0{,}75$ revient à le diminuer de $25$%, puisque $1 - \dfrac{25}{100}=0,75$

Un point de méthode

• Retrouver une valeur initiale après évolution.

Supposons qu'un prix ait été augmenté de $15$ %, pour être fixé à $32{,}66$€. Quel était la valeur initiale de ce prix ?

Avec le multiplicateur $1 + \dfrac{15}{100} = 1{,}15$, on pose tout simplement l'équation $1{,}15x = 32{,}66$€ grâce à laquelle on trouve $28{,}4$€.

2. Evolutions successives

On donne quelques conséquences des propriétés $1$ et $2$.

Propriété 3

Une hausse de $x$ % et une baisse de $y$ % sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre.

En effet, en appliquant d'abord la hausse de $x$ %, on multiplie la valeur initiale $Y$ par $1 + \dfrac{x}{100}$; ensuite, en appliquant la baisse de $y$ % à la valeur intermédiaire de $Y$, on multiplie par $1 - \dfrac{y}{100}$ pour obtenir la valeur finale de $Y$.

En définitive, on a $Y_f = \bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg) \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) \times Y_i$

Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a :

$\bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg) \times \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) = \bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg) \times \bigg(1 - \dfrac{y}{100}\bigg)$.

Conséquence :

Diminuer de $10$ % puis augmenter de $20$ % revient au même qu'augmenter de $20$ % puis baisser de $10$ %.

D'ailleurs, cela revient à multiplier par $0{,}9 \times 1{,}2=1{,}08$ : c'est une hausse de $8$ %.

Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution !

Propriété 4

Exemple :

Une baisse de $30$% suivie d'une hausse de $30$% reviennent à une baisse de $9$%.

En effet, on a $(1+ 0{,}30)(1- 0{,}30) =1 - 0{,}09$.

3. Quelques compléments qualitatifs

En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) :

• une hausse de $x$% n'est jamais compensée par une baisse de $x$ % et de même, une baisse de $x$ % n'est jamais compensée par une hausse de $x$ % (simple reformulation de la propriété 4) ;

• pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ;

• si une même hausse de $x$ % est appliquée plusieurs fois, par exemple $n$ fois, alors le multiplicateur global est égal à:

$\bigg(1 + \dfrac{x}{100}\bigg)^n$

Et si le taux $x$ % est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par $\bigg(1 + \dfrac{n \times x}{100}\bigg)$ , c'est-à-dire que la hausse globale est approximativement de $n \times x$ %.

En effet, on a $(1+x)^n = 1 + nx + x^2 P(x)$, où $P$ est un polynôme en $x$ ; alors, avec $x$ "petit" (ce qui signifie proche de $0$), la quantité $x^2 P(x)$ est négligeable devant les premiers termes $1$ et $(n x)$.

Application du dernier point ci-dessus.

On place une somme à un faible taux annuel, comme $0{,}5$% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ?

On augmente le capital de $0{,}5$% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de $0{,}5$% la seconde année, etc.

Voici : le capital après $n$ années, sera 1,005n fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation $1{,}005^n \geqslant 2$. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes.

Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près $(1+0{,}005 n)$ fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation $1+0{,}005n \geqslant 2$, c'est-à-dire $0{,}005n \geqslant 1$. Il suffit donc que $n$ dépasse $200$.

Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à $n \geqslant 139$, mais l'ordre de grandeur est correct, non ?

4. Taux moyen

Lorsqu'une quantité $Q_0$ subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale $Q_n$, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet.

Plus précisément, si l'on a :

$Q_0 \rightarrow Q_1$ par une hausse de $a$ %
$Q_1 \rightarrow Q_2$ par une baisse de $b$ %
...
$Q_{n-1} \rightarrow Q_n$ par une hausse de $c$ %

alors on sait que :

$Q_n = \bigg(1 + \dfrac{a}{100}\bigg)\bigg(1 - \dfrac{b}{100}\bigg)...\bigg(1 + \dfrac{c}{100}\bigg)Q_0$

On cherche le taux constant $t$ %, tel que :

$Q_n = \bigg(1 \pm \dfrac{t}{100}\bigg)^n Q_0$

C'est précisément ce taux $t$% qui est appelé taux moyen d'évolution entre $Q_0$ et $Q_n$ : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter !

Exemple

Vérification :

On a bien $(1+0{,}115885)^4 \times 2500 \approx 3876{,}30$.

Conclusion :

Une hausse constante de $11{,}55885$ % par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de $5$ %, puis $8$ % puis $13$ % et enfin $21$ % par an.

Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) :

La valeur du capital initial est sans importance, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires".

On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs
$\bigg(1+\dfrac{t}{100}\bigg)^4 = 1{,}05 \times 1{,}08 \times 1{,}13 \times 1{,}21 = 1{,}5505182$

donc on a :

$t = \sqrt[4\,]{1{,}5505182} -1) \times 100 \simeq 11{,}558843$

ce qui est "sensiblement" le même résultat.

Par Zauctore

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