Euler et la résolution des équations du premier degré

Voici le chapitre 2 de la section IV du tome 1 de l'algèbre d'Euler, écrit en 1770.

Introduction

Dans son introduction à l'algèbre de 1770, Euler expose les notions et techniques élémentaires dans les deux tomes d'un traité qui est longtemps resté une référence.

C'est un extrait du premier tome, d'analyse déterminée, précisément dans la section IV, le chapitre 2 concernant la résolution des équations du premier degré.

La traduction est de Garnier, début XIXe - l'exemplaire dont je dispose est daté de 1807. Comme le dit le traducteur dans son Avertissement, "les moindres productions échappées à la plume d'un homme tel qu'Euler doivent inspirer le plus vif intérêt, même lorsqu'il existe des ouvrages plus complets du même genre".

Ce sont les difficultés à me procurer ce texte de référence qui me conduisent à le proposer ici dans une typographie moderne, recomposé en LaTeX.

Ch. 2 - De la résolution des équations du premier degré

2.1. (566) : x

Lorsque le nombre cherché ou inconnu est indiqué par la lettre $x$, et que l’équation qu’on a obtenue est telle que l’un de ses membres renferme simplement $x$, et l’autre seulement un nombre connu, comme par exemple $x = 25$, la valeur cherchée de $x$ est toute trouvée.

C’est donc à parvenir à une telle forme qu’il faut toujours faire ses efforts, quelque compliquée que soit l’équation qu’on a trouvée d’abord.

Nous donnerons dans la suite les règles qui rendent ces réductions plus faciles.

2.2. (567) : x + a = b

Commençons par les cas les plus simples, et supposons d’abord qu’on soit parvenu à l’équation : $x + 9 = 16$, on voit sur-le-champ que $x = 7$.

Et en général, si on a trouvé $x + a = b$, où $a$ et $b$ signifient des nombres quelconques, mais connus, on n’a qu’à soustraire a de l’un et de l’autre membre, et on obtient l’équation $x = b - a$, qui indique la valeur de $x$.

2.3. (568) : x - a + b = c

Si l’équation primitive a cette forme $x - a + b = c$, on peut commencer par ajouter de part et d’autre $a$, on aura $x + b = c + a$ ; et en soustrayant $b$ des deux côtés, on trouvera $x = c + a - b$.

Mais on peut aussi ajouter $+a - b$ de part et d’autre ; on obtient
par-là sur-le-champ $x = c + a - b$.

Ainsi de $x - 2a + 3b = 0$, on déduit $x = 2a - 3b$,

$\begin{aligned} x - 3a + 2b = 25 + a + 2b && x = 25 + 4a\\ x - 9 + 6a = 25 + 2a && x = 34 - 4a\\ \end{aligned}$

2.4. (569) : ax = b

Quand l’equation trouvée est de la forme $a x = b$, on divise les deux membres par $a$, et on a $x =\dfrac{b}{a}$.

Mais si l’équation est $a x + b - c = d$,

il faudra d’abord faire disparaître les termes qui accompagnent $a x$, en ajoutant de part et d’autre $b + c$ ;

et après cela, en divisant par $a$ la nouvelle équation $a x = d - b + c$,

on aura $x = \dfrac{d - b + c}{a}$.

On aurait trouvé la même chose en soustrayant $+b-c$ de l’équation
donnée ; on aurait eu pareillement $a x = d - b + c$,

et $x = \dfrac{d - b + c}{a}$.

En conséquence de cela,

Si on a une équation, la résolution de cette dernière se fait ainsi : $(1)$ Equation $\Longrightarrow$ $(2)$ Résolution $\Longrightarrow$ $(3)$ Solution

$\begin{aligned} (1) && (2) && (3) \\ 2x + 5 = 17 && 2x = 12 && x = 6\\ 3x - 8 = 7 && 3x = 15 &&x = 5\\ 4x - 5 - 3a = 15 + 9a && 4x = 20 + 12a &&x = 5 + 3a. \end{aligned}$

2.5. (570) : $\dfrac{x}{a}= b$

Quand la première équation aura la forme $\dfrac{x}{a}= b$, on multipliera des deux côtés par $a$, pour avoir $x = ab$.

Mais si l’on a $\dfrac{x}{a}+ b - c = d$, il faudra d’abord faire : $\dfrac{x}{a}= d - b + c$,

Après quoi on obtiendra $x = (d - b + c)a = ad - ab + ac$.

• Soit $\dfrac{1}{2}x-3=4$, on a $\dfrac{1}{2}x=7$ et $x=14$

• Soit $\dfrac{1}{3}x - 1 + 2a = 3 + a$, on aura $\dfrac{1}{3}x = 4 - a$, et $x = 12 -3a$.

• Soit $\dfrac{x}{a-1} - 1 = a$, on aura $\dfrac{x}{a-1} = a + 1$, et* $x = a^2 - 1$.

Note: ∗ Euler note $aa$

2.6. (571) : $\dfrac{ax}{b}= c$

Quand on est parvenu à une équation, telle que $\dfrac{ax}{b}= c$,
on multiplie d’abord par $b$, afin d’avoir $ax = bc$,

et divisant ensuite par $a$, on trouve $x =\dfrac{bc}{a}$.

Que si $\dfrac{ax}{b}-c =d$,

on commencerait par donner à l’équation cette forme : $\dfrac{ax}{b}= d + c$,

après quoi on parviendrait à : $ax = bd + bc$, et à $x =\dfrac{bd + bc}{a}$.

Supposons : $\dfrac{2}{3}x -4=1$,

nous aurons : $\dfrac{2}{3}x = 5$, et $2x = 15$ ; donc $x = \dfrac{15}{2}= 7 + \dfrac{1}{2}$∗

∗ Euler note $7 \frac{1}{2}$.

Si $\dfrac{3}{4}x +12= 5$, nous aurons $\dfrac{3}{4}x = 5 - \dfrac{1}{2}= \dfrac{9}{2}$ ; donc $3x = 18$, et $x = 6$.

2.7. (572) : deux ou plusieurs termes contiennent x

Considérons à présent le cas qui peut arriver fréquemment, où deux ou plusieurs termes contiennent la lettre $x$, soit dans un seul membre de l’équation, soit dans tous les deux.

Si ces termes sont tous du même côté, c’est-à-dire dans un seul
membre, comme dans l’équation $x +12 x + 5 = 11$, on a :

$x + \dfrac{1}{2} x = 6$, et $3x = 12$, et enfin $x = 4$.

Soit : $x + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{3} x = 44$,

et qu’on demande la valeur de $x$ :

si on multiplie d’abord par $3$, on a : $4x + \dfrac{3}{2} x = 132$ ;

multipliant ensuite par $2$, on a : $11x = 264$ ; donc $x = 24$.

On aurait pu procéder plus brièvement, en commençant par réduire les trois termes qui renferment $x$, au seul terme $\dfrac{11}{6} x$ ;

et divisant ensuite par $11$ l’équation $\dfrac{11}{6}x = 44$,

on aurait eu : $\dfrac{1}{6}x =4$, donc $x=24$

Soit : $\dfrac{2}{3}x - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{2}x = 1$,

on aura, en réduisant, $\dfrac{5}{12}x = 1$, et $x = 2 +\dfrac{2}{5}$.

Soit plus généralement, $ax - bx + cx = d$, c’est comme si on avait $(a - b + c)x = d$, d’où $x = \dfrac{d}{a - b + c}$.

2.8. (573) : faire disparaître $x$ du côté où il y en a le moins

Lorsqu’il se trouve des termes renfermant $x$ dans l’un et l’autre membre de l’équation, on commencera par faire disparaître ces termes du côté où cela est le plus facile, c’est-à-dire où il y en a le moins.

Si on a, par exemple, l’équation $3x + 2 = x + 10$ ; il faudra soustraire $x$ des deux côtés, on aura $2x + 2 = 10$ ; donc $2x = 8$, et $x = 4$.

Qu’on ait $x + 4 = 10 - x$ ; il est clair que : $2x + 4 = 10$ ; donc $2x = 16$, et $x = 8$.

Soit $x + 8 = 32 - 3x$,

on aura : $4x + 8 = 32$ ; puis $4x = 24$, et $x = 6$.

Soit : $15 - x = 20 - 2x$, on aura : $15 + x = 20$, et $x = 5$.

Soit : $1 + x = 5 - \dfrac{1}{2}x$, on aura $1 + \dfrac{3}{2}x = 5$ ; puis $\dfrac{3}{2}x = 4$ ; $3x = 8$ ; enfin $x = \dfrac{8}{3}= 2 + \dfrac{2}{3}$.

Si : $\dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{3}x = \dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{4}$

on ajoutera $\dfrac{1}{3}x$, ce qui donne $\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{12}x$ en soustrayant $\dfrac{1}{3}$, il reste $\dfrac{1}{12}x =\dfrac{1}{6}$

et multipliant par $12$, on obtient $x = 2$.

Si $1 + \dfrac{1}{2}- \dfrac{2}{3}x = \dfrac{1}{4}+ \dfrac{1}{2}x$ ;

on ajoute $\dfrac{2}{3}x$, ce qui donne $1 + \dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{4}+ \dfrac{7}{6}x$ ;

soustrayant $\dfrac{1}{4}$, on a $\dfrac{7}{6}x$ = $1+\dfrac{1}{4}$,

d’où $x = \dfrac{30}{28}= 1 +\dfrac{1}{14}$ en multipliant par $6$, et en divisant par $7$.

2.9. (574) : si x est au dénominateur, il faut multiplier par x

Si on est parvenu à une équation où le nombre inconnu $x$ est en dénominateur, il faut faire disparaître la fraction, en multipliant toute l’équation par ce dénominateur.

Supposons qu’on ait trouvé $\dfrac{100}{x} - 8 = 12$,

on ajoutera d’abord $8$, et on aura $\dfrac{100}{x} = 20$ ;

multipliant ensuite par $x$, on a $100 = 20x$

et divisant par $20$, on trouve $x = 5$.

Soit : $5x + 3x - 1= 7$.

Si on multiplie par $x - 1$, on a : $5x + 3 = 7x - 7$.

Soustrayant $5x$, il reste $3 = 2x - 7$.

Ajoutant $7$, il vient $2x = 10$ ; d’où $x = 5$.

2.10. (575) : x fait partie d'une racine carrée

Quelquefois aussi on rencontre des signes radicaux et l’équation ne laisse pas d’appartenir au premier degré.

Par exemple, on cherche un nombre $x$ au-dessous de $100$, et tel que la racine
carrée de $100 - x$ devienne égale à $8$, ou $\sqrt{100-x}=8$

On prendra des deux côtés le carré, ce qui donne, $100 - x = 64$, et en ajoutant $x$,

on aura $100 = 64 + x$ ; d’où $x = 100 - 64 = 36$.

On pourrait aussi, puisque $100 - x = 64$, soustraire $100$ de l’un et de l’autre membre ; on aurait $-x = -36$, et en multipliant par $-1$, $x = 36$.

2.11. (576) x se trouve dans l'exposant

Quelquefois enfin, le nombre inconnu $x$ se trouve dans l’exposant, nous en avons vu des exemples plus haut, et il faut alors avoir recours aux logarithmes.

Ainsi, quand on a $2^x = 512$, on prend des deux côtés les logarithmes ; on a : $x \ln{2} = \ln{512}$ ∗;

Note * : Euler note $L$.

et en divisant par $\ln{2}$, on trouve $x = \dfrac{\ln{512}}{\ln{2}}$

Les tables donneront donc $x = \dfrac{2{,} 7092700}{0{,} 3010300}= \dfrac{270927}{30103}= 9$.

Soit $5 \times 3^{2x} - 100 = 305$,

on ajoutera $100$ ; cela fait : $5 \times 3^{2x} = 405$ ;

divisant par $5$, on a $32x = 81$ ;

prenant les logarithmes : $2x \ln{3} = \ln{81}$ ;

et divisant par $2\ln{3}$, on a :

$x = \dfrac{\ln{81}}{2\ln{3}} = \dfrac{\ln{81}}{\ln{9}}$ ;

donc : $x = \dfrac{1{,} 908450}{0{,} 9542425} = \dfrac{19084850}{9542425}= 2$.

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