Formule de la hauteur dans le triangle et Formule de Héron

Pour la 1ère S.

Voici une application de la formule d'Al-Kashi : on obtient une expression donnant la longueur d'une hauteur en fonction des côtés du triangle.

On en déduit la formule (dite de Héron) qui donne l'aire du triangle en fonction des côtés.

Note :
On suppose connue la loi des cosinus (formule d’Al-Kashî) :

Théorème 1 (Loi des cosinus).

Cette relation permet de calculer la longueur d’une hauteur à partir de celles des côtés.

Théorème 2

Démonstration

Avec la loi des cosinus, on a :

$a^2 + c^2 - 2 \times a \times c \times \cos{\widehat{B}} = b^2$.

Par projection de $AB$ sur $(BC)$, on a :

$c \times \cos{\widehat{B}} = BH$.

D’où

$a^2 + c^2 - 2 \times a \times BH = b^2$.

On a donc : $BH =\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$.

Dans le triangle ABH, le théorème de Pythagore donne donc
$AH^2 = c^2 - BH^2 = c^2 - \bigg[\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\bigg]^2$= $\dfrac{4a^2c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}$.

Pour obtenir une expression plus « lisible », on fait apparaître une différence de deux carrés :

$AH^2 = \dfrac{(2ac)^2 - (a^2 + c^2 - b^2)^2}{4a^2}$ ;

la factorisation par l’identité $u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)$ donne

$AH^2 =\dfrac{(2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2)}{4a^2}$.

Avec les identités $u^2 + v^2 \pm 2uv = (u \pm v)^2$, on a

$AH^2 =\dfrac{((a + c)^2 -b^2)(b^2 - (a -c)^2)}{4a^2}$

L’identité $u^2 - v^2$ donne encore

$AH^2 = \dfrac{(a + c - b)(a + c + b)(b - a + c)(b + a - c) }{4a^2}$.

En observant la symétrie des différents facteurs du numérateur, on écrit

$AH^2 = \dfrac{(a + b + c - 2b)(a + b + c)(a + b + c - 2a)(a + b + c - 2c)}{4a^2}$

Avec le demi-périmètre

$p =a + b + c$,

On a donc :

$AH^2 = {2(p - b) \times 2p \times 2(p - a) \times 2(p - c)}{4^a2} = 16(p - b)p(p - a)(p - c){4a^2}$.

On en déduit finalement

$AH =\sqrt{\dfrac{4(p - b)p(p - a)(p - c)}{a^2}}$
= $\dfrac{2\sqrt{(p - b)p(p - a)(p - c)}}{a}$.

Corollaire 1.

L’aire du triangle $ABC$ est donnée par :

$\boxed{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$.

Démonstration.

En effet, l’aire est donnée par :

$S =\dfrac{a \times h_A}{2}$

$= \dfrac{a \times \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{2}$

$=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Aller plus loin sur les triangles

Pour poursuivre sur les théorèmes liés aux triangles, consultés également ces autres fiches conseils sur notre site :

• Les théorèmes de géométrie dans les triangles
• Le calcul de l'aire ou de la surface d'un triangle rectangle
• Les triangles en cinquième
• Les angles et les parallèlismes

Vous pouvez également vous en référer à ce site pour savoir Comment construire la hauteur d'un triangle.

Calculer l'aire d'un triangle

En complément de cet article sur la hauteur du triangle, vous pouvez aussi avoir à calculer l'aire d'un triangle (en l'occurrence un triangle rectangle.
Dans ce cas, nos fiche-méthode, vous donnerons une courte introduction sur les propriétés du triangle rectangle, la formule générale pour calculer l'aire d'un triangle quelconque, la formule particulière du calcul de la surface d'un triangle rectangle et d'un triangle rectangle isocèle et des exercices.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement l'aire (également appelée surface) d'un triangle rectangle ?

Propriétés du triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle dont l'un des angles est droit.

Un triangle rectangle est caractérisé par :

• 3 sommets et 3 côtés comme un triangle classique
• 1 angle droit
• 1 des côtés non adjacent à cet angle droit appelé hypothénuse
• 1 hauteur issue de l'angle droit du triangle notée hh

La formule généralement utilisée pour calculer l'aire (également appelée surface) d'un triangle quelconque :

Par Zauctore

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