Factorisation d'un polynôme par identification

Cette fiche explique la méthode de factorisation d'un polynôme par identification.
Un exemple accessible dès la 1ère S est suivi d'une généralisation pour un polynôme de degré $n$.

I. Explication de la méthode d'identification par un exemple (niveau 1ère S)

Il s'agit de trouver 3 réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :

1.1 Développement

Pour déterminer les 3 réels $a, b, c$ on commence par développer le membre de droite :

Puis on regroupe les termes de même degré :

1.2 Identification

Ensuite a lieu l'identification.
Pour que l'égalité ci-dessous soit vraie pour tout $x$ de $R$:

Il faut que les coefficients de même degré de chaques polynômes soient égaux deux à deux, c'est-à dire :

1.3 Résolution du système

Et il ne reste plus qu'à résoudre ce système pour trouver $a$ , $b$ et $c$ qui conviennent.

On trouve :

On conclut :

II. Généralisation (pour ceux qui aiment ça ...)

Soit $P(x)$ un polynôme de degré $n$

et soit $x_0$ une racine de ce polynôme, alors $P(x)$ peut s'écrire sous la forme :

avec $Q(x)$ un polynôme de degré $n-1$.

On part de :

que l'on développe, et on regroupe les termes de même degré :

D'où le système :

Ainsi en résolvant le système, on trouve $b_{n-1}$, $b_{n-2}$, ..., $b_1$, $b_0$ ce qui nous permet de factoriser le polynôme $P(x)$.

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