Résoudre un système avec les formules de Cramer

En classe de troisième, on apprend la résolution des systèmes de 2 équations à 2 inconnues par la méthode des combinaisons ou par celle de la substitution.

Hors des programmes scolaires actuels, les formules de Cramer donnent les solutions de façon automatique. C'est d'ailleurs la méthode de résolution qu'utilisent les calculatrices "collège". Nous souhaitons donc vous présenter ici comment résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues avec les formules de Cramer.

Méthode de résolution d'un système par les formules de Cramer

Contexte

On considère des systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues $(x;y)$ de la forme :

où $a,b,c,a',b'$ et $c$' sont des constantes fixées.

Déterminant

Le déterminant du système $(1)$ est défini par :

C'est aussi le déterminant des vecteurs colonnes $\dbinom{a}{b}$ ou $\dbinom{a'}{b'}$ et comme on le voit parfois en classe de Première, pour la colinéarité.

On rappelle que :

Les vecteurs $\dbinom{a}{b}$ et $\dbinom{a'}{b'}$ sont colinéaires si et seulement si $ab'-a'b=0$

C'est-à-dire si et seulement si leur déterminant est nul.

Application aux systèmes $2\times2$

Le système $(1)$ a un couple-solution si et seulement si son déterminant est non nul :

Dans ce cas, les formules de Cramer pour le système $(1)$ donnent l'expression des solutions en fonction des coefficients du système :

Exemple

Par exemple, pour le système :

$\begin{cases} 4x-2y=5 \\ 3x-4y=1 \end{cases}$

Le déterminant est :

$4\times(-4)-3\times(-2) = -10$

Les solutions du système sont donc :

$x=$$\dfrac{\begin{vmatrix} 5& -2\\ 1 & -4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 3 & -4\end{vmatrix}}$ $=\dfrac{5\times (-4) -1\times (-2)}{-10}$= $\boxed{1{,}8}$

et

$y=$$\dfrac{\begin{vmatrix} 4 & 5\\ 3 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} 4 & -2\\ 3 & -4\end{vmatrix}}$ $=\dfrac{4\times1-5\times3}{-10}$$=\boxed{1{,}1}$

Complément

On peut ainsi retenir l'expression des solutions par la méthode de Cramer :

$(1)$ $\begin{cases} ax+by=c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$

On forme par exemple :

$x=$$\frac{\begin{vmatrix} c & b \\ c'& b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b'\end{vmatrix}}$$=\dfrac{cb'-c'b}{ab'-a'b}$

Justifications

$1.$ Les droites d'équations $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$ ont un unique point d'intersection dans le plan si et seulement si elles ne sont pas parallèles, c'est à dire lorsque :

$\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix}$ $\neq0$

On se place donc dans ce cas favorable.

$2.$ Si ni $b$ ni $b'$ n'est nul, alors en procédant par combinaisons, le système $(1)$ devient

$\begin{cases} ab'x+bb'y=cb'\\ a'bx+bb'y=bc'\end{cases}$

et par soustraction membre à membre, on a :

$(ab'-a'b)x=cb'-c'b$

soit

$\begin{vmatrix} a & b \\ a' & b' \end{vmatrix} x$ $= \begin{vmatrix} c & b \\ c' & b' \end{vmatrix}$

Ce qui établit le résultat dans ce cas. L'expression de $y$ s'établit de la même manière.

$3.$ Maintenant dans le cas où $b$ ou $b'$ est nul, on vérifie que les formules sont encore valables. En effet, supposons par exemple que $b=0$, le système $(1)$ devient :

$\begin{cases} ax =c\\ a'x+b'y=c'\end{cases}$

On en déduit que $x=\dfrac{c}{a}$ et que $a'\dfrac{c}{a} +b'y=c'$ soit $y=\dfrac{ac'-a'c}{ab'}$ ce qui a bien la forme

$x=$$\frac{\begin{vmatrix} c & 0 \\ c'& b'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 0 \\ a' & b'\end{vmatrix}}$ et $y=$$\frac{\begin{vmatrix} a & c\\ a'& c'\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a & 0 \\ a' & b'\end{vmatrix}}$

Conclusion

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