Tu ne dois pas avoir vu les dérivées de composées de fonction j'imagine. Ca complique un peu la tâche dans ce cas là.
Mais vu que c'est une exponentielle il y a moyen de trouver une petite astuce : commence par dériver f(x)=exp(2x) ; puis réfléchit un peu où ça pourrait nous mener (écrit f'(x) en fonction de f(x)).
Indice : primitive des deux côtés de ton équation.
Non, notée e^(2x), ou encore avec la balise exposant accessible sous le cadre où on écrit le message, e2x.
Je n'ai rien compris à cette ligne : "e^2x = (e^2x) / 2" ? C'est pour ça que je suis passé à la notation f, parce que avec des exponentielles partout on ne voit plus rien, surtout ce que j'essaie de te faire remarquer.
Tu as trouvé la solution, mais je n'ai pas compris ton raisonnement vu que ton équation est fausse. Mais j'ai l'impression en déchiffrant plus ou moins que tu as fait ce que j'attendais. Je le récris plus simplement, sans tout le blabla inutile.
f(x)=exp(2x)
Donc f'(x)=2exp(2x)=2f(x), ce qui nous fournit ce que l'on appelle une équation différentielle, mais peu importe son nom :
f(x)=f'(x)/2
Soit F une primitive de f, alors F'(x)=f(x). On peut donc récrire l'équation précédente :
F'(x)=f'(x)/2
En l'intégrant, on obtient (sans oublier la constante d'intégration, vu que c'est une primitive) :
F(x)=f(x)/2+k=exp(2x)/2+k
Par exemple f=goh avec g(x)=exp(x) et h(x)=2x, ou encore g(x)=x² et h(x)=exp(x), il y a plusieurs façons de la voir.
La dérivée d'une composée : f'(x)=h'(x)*g'(h(x)). On peut faire apparaitre assez simplement la dérivée d'une composée dans f ici, et donc obtenir F.
Un edit de dernière minute, la solution est au début de ce post, ce qui signifie que tu n'avais pas vu ce que j'espérais que tu voies.
Arrête d'éditer, je n'arriverai jamais à poster.
Ben oui, tu es parti de (e^2x)' = 2e^2x. Où est passé ton (...)' ? C'est 2 = (e^2x)' /e^2x.
Je pense avoir compris, mais cette méthode est juste valable pour connaître une primitive d'une expression contenant la fonction exponentielle?Pour les autres primitives elle ne fonctionne pas.
On "reconnait" la dérivée d'une composée à un facteur près :
f(x)=exp(2x)=2*exp(2x)/2=h'(x)*g(h(x))/2, avec h(x)=2x et g(x)=exp(x).
Donc les primitives de f sont de la forme g(h(x))/2+k.
En général il faut avoir le coup d'œil et bien connaitre la dérivée d'une composée dans ce cas là.
Peut-être le vois-tu mieux de l'autre manière : f(x)=e2x=(ex)².
g(x)=x², que tu sais primitiver.
Si tu veux savoir démontrer ce genre de chose de manière encore plus générale, il va falloir intégrer de 0 à x ta fonction f, et effectuer des changements de variables pour te ramener à une intégrale connue.
Tu conviendras qu'en terminale on ne te demande pas de faire cette dernière démonstration, et donc qu'il est impératif d'avoir le coup d'œil quand on est face à une composée. Bref, il faut s'entrainer à en dériver et à en primitiver.
Oui ta primitive est juste et ta méthode est bonne.
Pour généraliser la méthode "terminale S", on sait que la primitive de u'.eu est eu (u étant une fonction). Mais dans ce cas il faut faire apparaître le u'. Personnellement, j'écris d'abord f(x)=1/2 * 2.e2x de manière à faire apparaître une fonction de la forme k.u'eu, k étant un réel.
La méthode consistant à rajouter une constante multiplicative marche particulièrement bien avec les compositions v o u quand u est une fonction affine. Ainsi, tu peux éventuellement apprendre par coeur une primitive de eax+b qui est 1/a.eax+b.
