Le second degré (1ère partie)

I. Fonctions polynômes du second degré (rappels de 2nde)

1. Définition et forme canonique

Remarque : Cette expression est aussi appelée trinôme.

On développe :
$3(x - 1)^2 + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 = 3x^2 - 6x + 3 + 1 = 3x^2 - 6x + 4 = f(x)$
Donc $3(x - 1)^2 + 1$ est la forme canonique de $f(x)$.

Remarque : On a : $\alpha = \frac{-b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$

2. Variations et représentation graphique

Si $a > 0$	Si $a < 0$

Remarque : La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$.

II. La résolution des équations du second degré

Dans tout le paragraphe, on considère l'équation du second degré $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels donnés et $a$ non nul.

1. Calcul du discrimant d'une équation polynômiale du second degré

Le discriminant va nous permettre de déterminer les solutions (si elles existent) de l'équation.

• $2x^2 - x - 6 = 0$, on a :

$\left\{ \begin{array}{l} a = 2 \\ b = -1 \\ c = -6 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49$

Comme $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions :

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{8}{4} = 2$ et $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = \frac{-6}{4} = - \frac{3}{2}$

• $9x^2 - 6x + 1 = 0$, on a :
  $\left\{ \begin{array}{l} a = 9 \\ b = -6 \\ c = 1 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 36 - 36 = 0$

Comme $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle :

$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

• $x^2 + 3x + 10 = 0$, on a :
  $\left\{ \begin{array}{l} a = 1 \\ b = 3 \\ c = 10 \end{array} \right.$

$\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = 9 - 40 = -31$

Comme $\Delta < 0$, l'équation n'admet pas de solution réelle.

2. Interprétation graphique

Les solutions de l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ sont, lorsqu'elles existent, les abscisses $x$ des points où la parabole $\mathcal P$ de la fonction $f(x) = ax^2 + bx + c$ coupe l'axe des abscisses.

	$a > 0$	$a < 0$
Cas où $\Delta > 0$ : $\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses en deux points distincts d'abscisses respectives $x_1$ et $x_2$.
Cas où $\Delta = 0$ : $\mathcal P$ est tangente à l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$.
Cas où $\Delta < 0$ : $\mathcal P$ ne coupe pas l'axe des abscisses.

Le second degré (2ème partie)

I. Factorisation de $ax^2 + bx +c$

On commence par rechercher les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de l'équation : $2x^2 - x - 6 = 0$, on a :

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 49$

Les deux racines sont :

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = 2$ et $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = - \frac{3}{2}$

Donc : $2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2})$

$9x^2 - 6x + 1$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0$

Comme $\Delta = 0$, le polynôme admet une unique racine "double" :

$x_0 = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{1}{3}$

Donc : $9x^2 - 6x + 1 = 9(x - \frac{1}{3})²$

$x^2 + 3x + 10$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = -31$

Comme $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

II. Etude du signe de $ax² + bx +c$

Cas où $\Delta > 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses, en changeant de signe, en deux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$.

Cas où $\Delta = 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ a un point de contact avec l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$, sans changer de signe.

Cas où $\Delta < 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ est entièrement située de l'un des côtés de l'axe des abscisses.

1. On a vu que : $\Delta = 49$ et que : $x_1 = 2$ et $x_2 = - \frac{3}{2}$.
   On applique le théorème n°2 avec $a = 2 > 0$.
   

2. On lit les solutions à l'aide du tableau : $S = ]-\infty ; 2[ \cup ]-\frac{3}{2} ; +\infty[$

III. La préparation CRPE pour devenir enseignant

Vous souhaitez devenir professeur des écoles et exercer votre passion auprès des plus jeunes ? Vous découvrez ces cours sur le second degré pour Première ES et souhaitez mettre toutes les chances de votre côté pour préparer correctement le concours ? Voici ce que vous devez savoir la préparation cpre.

Qu'est-ce que le CRPE ?

Le CRPE est le concours de recrutement de professeurs des écoles. Il permet de devenir professeur des écoles en maternelle ou en élémentaire. C'est un concours académique organisé par l'Education Nationale et qui peut se préparer en présentiel ou en ligne.

Préparer le CRPE

La préparation du concours, comme pour les autres préparation d'examens, a été perturbée par la crise sanitaire actuelle. Il a fallu repenser les offres et les modalités de formation dans un contexte où les réunions physiques sont devenues de plus en plus rares.
Les formations en présentielles ont en effet peu à peu laissé place aux préparations en ligne pour permettre une continuité de l'activité. De nombreux organismes de formation ont ainsi du s'adapter en proposant des cours en ligne, afin de continuer de former les milliers d'aspirants enseignants qui souhaitent passer le CRPE.
Remise à niveau, tests de départ, programmes d'accompagnement personnalisés, et surtout en ligne, la préparation s'est donc adaptée et a même profiter de certaines opportunités. Les offres en ligne permettent en effet de proposer un contenu à un plus large public, sans être obligé de se déplacer ou de cibler un public dans une zone géographique précise. Un avantage pour les organismes dans le contexte actuel !

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