Les statistiques en 1ère ES

Dans tout le chapitre, on étudiera en exemple la même série statistique qui résume dans le tableau suivant le nombre de jours de congé posés par les 38 salariés d'une entreprise au cours du mois de juin :

Jours de congés	0	1	2	3	4	5	6	7
Effectifs	10	9	5	6	3	4	0	1

I. Moyenne et écart type

On considère la série statistique définie par le tableau suivant :

Valeurs	$x_1$	$x_2$	...	$x_p$
Effectifs	$n_1$	$n_2$	...	$n_p$

On note $N$ , l'effectif total : $N = n_1 + n_2 + ... + n_p$

1. Moyenne (rappels)

Définition n°1 :
On appelle moyenne d'une série statistique le nombre noté $\overline{x}$ et défini par :

$\overline{x} = \frac{n_1 \times x_1 + ... + n_p \times x_p}{N}$

Exemple :

$\overline{x} = \frac{10 \times 0 + 9 \times 1 + 5 \times 2 + 6 \times 3 + 3 \times 4 + 4 \times 5 + 0 \times 6 + 1 \times 7}{10 + 9 + 5 + 6 + 3 + 4 + 0 + 1} = \frac{76}{38} = 2$ .

En moyenne, les employés ont pris 2 jours de congés en juin.

2. Variance, écart type

Définitions n° 2 :

On appelle variance d'une série statistique, la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs observées et la moyenne de la série. On la note $V$ . On a :

$V = \frac{n_1 \times (x_1 - \overline{x})^2+ ... + n_p \times (x_p - \overline{x})^2}{N}$

On appelle écart type d'une série statistique, la racine carrée de la variance de cette série. On le note $\sigma$ . On a :

$\sigma = \sqrt{V}$

L'écart type s'exprime dans la même unité que la variable étudiée.
L'écart type est un indicateur de dispersion de la série autour de la moyenne. Plus l'écart type est petit, plus les valeurs de la série sont proches autour de la moyenne. Inversement un grand écart type signifie que les valeurs sont éloignées les unes des autres.

Propriété :
On peut calculer la variance :

$V = \frac{n_1x_1^2 + ... + n_px_p^2}{N} - \overline{x}^2$

Exemple :

$V = \frac{10 \times 0^2 + 9 \times 1^2 + 5 \times 2^2 + 6 \times 3^2 + 3 \times 4^2 + 4 \times 5^2 + 0 \times 6^2 + 1 \times 7^2}{38} - 2^2 = \frac{280}{38} - 4 \approx 3,37$
$\sigma = \sqrt{V} \approx 1,84$

II. Médiane et écart interquartile

1. Médiane

Définition n°3 :
Dans une série statistique de N termes classés par ordre croissant, on appelle médiane (notée Me) :

le terme du milieu, si N est impair ;
la demi-somme des deux termes du milieu, si N est pair.

La médiane partage les valeurs de la série en deux groupes de même effectif.

On commencera par rechercher la position de la médiane, puis on pourra la rechercher en écrivant toutes les valeurs de la série ou en s'aidant du tableau des effectifs cumulés croissants.

Exemple :
Pour la série statistique étudiée, l'effectif total est 38 (pair), donc la médiane se trouve entre la : $\frac{38}{2} = 19^{ème}$ et la $20^{ème}$ valeur de la série.

1ère méthode : On écrit les valeurs dans l'ordre croissant :
$0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $0$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ 1 2 $2$ $2$ $2$ $2$ $3$ ...

2ème méthode : Avec le tableau des effectifs cumulés croissants

Jours de congés	0	1	2	3	4	5	6	7
Effectifs	10	9	5	6	3	4	0	1
Effectifs cumulés croissants	10	19	24	30	33	37	37	38

On constate que $1$ est la $19^{ème}$ valeur et $2$ la $20^{ème}$ .
Donc : Me = $\frac{1 + 2}{2} = 1.5$

Interprétation : La moitié des salariés a pris moins de 1,5 jour de congé et l'autre plus de 1,5.

2. Écart interquartile

Définitions n°4 :
Dans une série statistique dont les termes sont classés par ordre croissant, on appelle :

premier quartile, noté $Q_1$ , le plus petit terme tel qu'au moins 25% des données soient inférieures ou égales à $Q_1$ ;
troisième quartile, noté $Q_3$ , le plus petit terme tel qu'au moins 75% des données soient inférieures ou égales à $Q_3$ ;
écart interquartile le nombre défini par : $Q_3 - Q_1$ .

On commencera par calculer la position des quartiles, puis on s'aidera de la liste des valeurs ou du tableau des effectifs cumulés croissants.

Exemple :
Pour la série étudiée, l'effectif total est 38.

On a : $\frac{25}{100} \times 38 = 9,5$ : $Q_1$ est la $10^{éme}$ valeur de la série.
Donc $Q_1 = 0$ .
Interprétation : au moins $25$ % des salariés n'a pris aucun jour de congé.

On a : $\frac{75}{100} \times 38 = 28,5$ : $Q_3$ est la $29^{éme}$ valeur de la série.
Donc $Q_3 = 3$ .
Interprétation : au moins $75$ % des salariés a pris 3 jours de congé ou moins.

L'écart interquartile est : $Q_3 - Q_1 = 3 - 0 = 3$

L'écart interquartile est un indicateur de dispersion de la série autour de la médiane.

3. Diagramme en boîte

Afin de pouvoir résumer les indicateurs et facilement comparer deux séries, les résultats peuvent être représentés graphiquement à l'aide d'un diagramme en boîte.

![Diagramme en boîte](https://i.imgur.com/X3jMGPs.png =400x)

III. Utilisation de la calculatrice

Avec une calculatrice Casio

Pour saisir les données, sélectionner l'icône $STAT$ puis saisir les $x_i$ dans $List$ $1$ , les $n_i$ dans la liste $List$ $2$ .

Pour calculer les paramètres, activer les sous-menu $CALC$ avec F2 puis $SET$ avec F6.
Indiquer $List$ $1$ sur la ligne $1$ $Var$ $Xlist$ et $List$ $2$ sur la ligne $1$ $Var$ $Freq$ .
Taper $EXIT$ puis sélectionner $1$ $VAR$ avec F1.

Avec une calculatrice TI

Pour saisir les données, appuyer sur la touche $stats$ , puis choisir le menu $EDIT$ et saisir les $x_i$ dans la liste $L1$ , les $n_i$ dans la liste $L2$ .

Pour calculer les paramètres, appuyer sur la touche $stats$ , choisir le menu $CALC$ puis sélectionner $Stats$ $1-Var$ .
Saisir $L1$ dans $List$ et $L2$ dans $FreqList$ (ou taper $L1,L2$ pour les anciens modèles) et appuyer sur $enter$ .

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