Les équations en 4ème

I. Vocabulaire

Exemple :

• $4\times 7=30-2$ est une égalité vraie mais ce n'est pas une équation, car il n'y a pas de nombres inconnus.
• $3+7=5\times 3$ est une égalité fausse mais ce n'est pas une équation, car il n'y a pas de nombres inconnus.
• $3x+9=7-2x$ est une équation : il y a ici un nombre inconnu, $x$.

On ne sait pas si cette dernière égalité est vraie ou fausse.
L'objectif principal est de trouver des valeurs de l'inconnue pour laquelle l'égalité est vraie. On dit qu'on résout l'équation

Par exemple :

• pour $x=-0,4$, l'égalité $3\times (-0,4)+9=7-2\times (-0,4)$ est vraie ;
• pour $x=2$, l'égalité $3\times 2+9=7-2\times 2$ n'est pas vraie.
  Ainsi, on dira que $x=-0,4$ est une solution de l'équation.

II. Méthode de résolution

Trouver les solutions d'une équation peut s'avérer très compliqué. Une première approche consisterait à tester plusieurs valeurs et de regarder si parmi les valeurs testées si certaines rendent l'égalité vraie.
On remarque très vite que cette méthode n'est pas efficace.
D'où l'intérêt de trouver une méthode de résolution efficace et rapide afin de trouver l'ensemble des solutions de l'équation.

Cette méthode de résolution repose sur la propriété suivante :

Exemple n°1 :
On souhaite résoudre l'équation $x+7=11$

• On soustrait 7 de chaque côté :
  $x+7$$-7$$=11$$-7$
• On obtient donc : $x=4$

Exemple n°2 :
On souhaite résoudre l'équation $7x-1=2x-10$

• On soustrait $\textbf{2x}$ à chaque membre :
  $7x - 1$$-\textbf{2x}$ $= 2x - 10$$-\textbf{2x}$
  $5x - 1 = -10$
• On additionne $\textbf{1}$ à chaque membre :
  $5x - 1$$+\textbf{1}$$= -10 +$$\textbf{1}$
  $5x = -9$
• On divise enfin par $\textbf{5}$ chaque membre :
  $5x$$\div\textbf{5}$$=-9$$\div\textbf{5}$
  $x=-1{,}8$
  La solution de l'équation est $-1{,}8$.

Remarque :
Il est possible de vérifier si la solution trouvée est bonne.
Il suffit de remplacer l'inconnue dans la première équation par la valeur que l'on vient de trouver et d'effectuer les calculs.

Dans l'exemple n°2, on a alors :
$7\times (-1{,}8)-1=-12{,}6-1=-13{,}6$ pour le membre de gauche ;
$2\times (-1{,}8)-10=-3{,}6-10=-13{,}6$ pour le membre de droite.

Les deux résultats sont égaux, la solution est la bonne.

Si les deux résultats trouvés sont différents, la solution est fausse (une erreur de calcul). La résolution est à reprendre.

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