Les puissances en 4ème

Ce cours concerne la notation puissance. Il a pour but de poser les bases du calcul numérique avec les puissances et d'en donner un cas particulier : les puissances de 10.
Le cours sur les puissances est un cours important, notamment pour son application aux Sciences Physiques, ou aux Sciences de la Vie et de la Terre (SVT). Il sera d'une grande utilité dans ces matières.

I. Comprendre la notation de puissance

1. Puissances d'exposant positifs

Définition :
Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier naturel.
On appelle puissance de $a$ exposant $n$ le nombre défini par :

$a^n=\underbrace{a\times a\times a\ \times ... \times\ a}_{n\ facteurs}$

Exemples :

$7^3 = 7\times 7\times 7 = 343$

$(-5)^4 = (-5)\times (-5)\times (-5)\times (-5) = 625$

Remarques :

$a^0=1$ par convention.
$0^0$ n'existe pas.
$a^2$ se lit " $a$ au carré" et $a^3$ se lit " $a$ au cube".

2. Puissances d'exposant négatif.

Définition :
Si $a$ est un nombre relatif et $n$ un entier, l'inverse de $a^n$ est donné par :

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \frac{1}{\underbrace{a\times a\times a\times ... \times a}_{n\ facteurs}}$

Exemples :

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3\times 3\times 3\times 3} = \frac{1}{81}$

$6^{-5} = \frac{1}{6^5} = \frac{1}{6\times 6\times 6\times 6\times 6\times 6} = \frac{1}{7776}$

Remarques

On peut dire aussi qu'une puissance d'exposant négatif est toujours l'inverse d'une puissance d'exposant positif.
L'inverse de $a$ se note généralement $\frac{1}{a}$ . Il peut maintenant s'écrire $a^{-1}$ .

II. Propriétés générales.

La notation puissance, de part sa définition, va respecter plusieurs propriétés. Il est indispensable de les connaître et de les maîtriser.

Propriété :
Soient $a$ et $b$ deux nombres relatifs et $m$ et $n$ deux nombres entiers relatifs.

$a^m\times a^n = a^{m+n}$
$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
(avec $a\neq 0$ )
$(a\times b)^n = a^n\times b^n$
$(a^m)^n = a^{m\times n}$

Exemples :

$6^2\times 6^5 = \underbrace{6\times 6}_{2\ facteurs}\times\underbrace{6\times 6\times 6\times 6\times 6}_{5\ facteurs} = 6^{2+5}=6^7$

$\frac{3^4}{3^8} = \frac{3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3} = 3^{4-8}=3^{-4}$

$(4\times 7)^2 = (4\times 7)\times (4\times 7)=4\times 4\times 7\times 7=4^2\times 7^2$

$(11^2)^4 = (11\times 11)\times (11\times 11)\times (11\times 11)\times (11\times 11)=11^{2\times 4} = 11^8$

III. Cas particulier : les puissances de 10

La notation puissance va prendre tout son intérêt dans l'écriture de certains nombres. On va pouvoir utiliser cette notation afin d'écrire de très grands nombres ou de très petits nombres, et ainsi pouvoir écrire plus facilement les distances entre des planètes, ou la taille de molécules ou d'atomes, etc...

1. Principe de base.

Toutes les définitions, remarques, propriétés ou exemples cités plus haut sont encore valables lorsque l'on parle de puissances de 10.

Par exemple : $10^4 = 10\times 10\times 10\times 10 = 10\ 000$

La particularité ici est que le résultat de $10^4$ s'écrit comme un $1$ suivi de quatre zéros.
Et cela se vérifie pour n'importe quelle autre puissance de $10$ d'exposant positif :
$10^n$ s'écrit avec un $1$ suivi de $n$ zéros !

Exemples :

$10^6 = 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1\ 000\ 000$

$10^{9} = 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10 = 1\ 000\ 000\ 000$

Examinons maintenant les puissances de $10$ négatives.

Par définition : $10^{-4} = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10\ 000} = 0{,}0001$

On remarque que $10^{-4}$ s'écrit comme un nombre décimal composé de zéros avec un $1$ placé en quatrième position derrière la virgule : $0{,}0001$ .
Cela se vérifie également pour n'importe quelle puissance négative $n$ :
$10^{-n}$ s'écrit avec un $1$ en $n^{ième}$ position après la virgule $0,...1$ !.

Exemples :

$10^{-9} = \frac{1}{10^9} = \frac{1}{1\ 000\ 000\ 000} = 0{,}000\ 000\ 001$

$10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0{,}01$

2. Définition

On définit alors l'écriture scientifique d'un nombre :

Définition :
L'écriture scientifique d'un nombre décimal différent de 0 est l'écriture de la forme $a\times 10^n$ où :

$a$ est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) ;
$n$ est un entier relatif.

Tout cela va nous permettre d'écrire de très grands ou de très petits nombres. Prenons deux exemples :

Exercice :
Donner l'écriture scientifique du nombre $150\ 000\ 000$ et du nombre $0{,}006\ 51$ .

Résolution

$150\ 000\ 000=1{,}5\times 100\ 000\ 000=1{,}5\times 10^8$
car $100\ 000\ 000=10^8$

$0{,}006\ 51=6{,}51\times 0{,}001=6{,}51\times 10^{-3}$
car $0{,}001=10^{-3}$

3. Les notations avec préfixes

On peut utiliser certains préfixes pour simplifier les noms et écritures des puissances de 10.
Nous en utilisons régulièrement dans notre vie quotidienne : kilo, méga, centi...
Ils sont résumés dans le tableau suivant :

Préfixe	giga	méga	kilo	unité	milli	micro	nano
Symbole	G	M	k		m	µ	n
$10^n$	$10^9$	$10^6$	$10^3$	$10^0=1$	$10^{-3}$	$10^{-6}$	$10^{-9}$

Exemples :

$1\ km = 10^3\ m = 1000\ m$

$1\ \mu m = 10^{-6}\ m = 0{,}000001\ m$

4. Application

Pour bien comprendre l'écriture scientifique d'un nombre, il n'y a pas $0{,}36 \times 10^2$ solutions possibles : il faut faire des exercices !!.

Faisons un exercice d'application utilisant l'écriture scientifique d'un nombre :

Exercice
Utilisez la notation scientifique pour donner un ordre de grandeur de la dimension en mêtre ( $m$ ), de chaque objet.

Grain de sable : $0{,}000\ 232\ m$
Fil d'une toile d'araignée : $6\ 690\ nm$
Particule de fumée de tabac : $0{,}27\ \mu m$

Résolution

Grain de sable :
$0{,}000\ 232\ m = 2{,}32 \times 0,000\ 1\ m = 2{,}32 \times 10^{-4}\ m$

Fil d'une toile d'araignée :
$6\ 690\ nm = 6\ 690\times 10^{-9}\ m = 6{,}69 \times 10^3 \times 10^{-9}\ m = 6{,}69 \times 10^{-6}\ m$

Particule de fumée de tabac :
$0{,}27\ \mu m = 0{,}27 \times 10^{-6}\ m = 2{,}7 \times 10^{-1} \times 10^{-6}\ m = 2{,}7 \times 10^{-7}\ m$

Nous pouvons maintenant comparer la taille de chacun de ces objets car ils sont tous exprimés dans la même unité : le mètre.
On commence par comparer les exposants (le plus petit objet est celui qui a le plus petit exposant), puis on compare le nombre écrit devant la puissance si l'exposant est le même.

Ici, l'ordre croissant sera : $2{,}7\times 10^{-7}<6{,}69\times 10^{-6}<2{,}32\times 10^{-4}$

Soit : Taille de la particule de fumée $<$ taille du fil d'une toile d'araignée $<$ taille du grain de sable.