Factorisation et étude de signes en 2nd

I. Signe d'une fonction affine

Propriété :
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a$ différent de $0$ .
La fonction affine définie $f(x) = ax + b$ s'annule et change de signe une fois dans son domaine de définition pour $x=-\dfrac{b}{a}$ .
• Si $a$ est positif, la fonction est négative puis positive.
• Si $a$ est négatif, la fonction est positive puis négative.

Représentation graphique :
tableau-de-signes
Voici les tableaux de signes correspondants à ces deux représentations graphiques :
Cas où $a$ est positif :

Cas où $a$ est négatif :

Exemple :
Dresser le tableau de signes de la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=-5x+11$ .
On remarque ici que $a=-5<0$ . On est dans le deuxième cas.
Recherche de la valeur qui annule la fonction :

$-5x+11=0\Longleftrightarrow x =\dfrac{-11}{-5}=\dfrac{11}{5}$

II. Factorisation

Rappels des méthodes de factorisation :

Pour $a$ , $b$ et $k$ trois réels : $ka+kb=k(a+b)$ ;
Utilisation des identités remarquables :

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$a^2+b^2+2ab=(a+b)^2$

$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2$

III. Signe du produit de deux fonctions affines

Propriété "Règle des signes" :

Le produit de deux nombres de même signe est positif.
Le produit de deux nombres de signes différents est négatif.

Méthode d'étude du signe d'un produit :
Résoudre l'inéquation

$(x+12)(4x+16)\geq 0$

Etape 1 : on résout séparemment chaque équation.
- $x+12=0\Longleftrightarrow x=-12$
- $4x+16\Longleftrightarrow x=-4$
Etape 2 : on fait un tableau de signe où on indique sur la première ligne les bornes de l'ensemble de définition et les solutions trouvées à l'étape 1.
Etape 3 : on utilise ce que nous avons appris sur le signe d'une fonction affine (voir I.) en complétant les 2ème et 3ème lignes pour $x +12$ et $4x+16$ séparément.
Etape 4 : on utilise la règle des signes de deux nombres relatifs (rappelée ci-dessus) en remplissant la dernière ligne.
Etape 5 : on conclut sur l'ensemble des solutions. Ici on veut résoudre $(x+12)(4x+16)\geq0$ donc on cherche sur la dernière ligne le(s) intervalle(s) où le produit est positif (c'est-à-dire avec un signe "+").

Voici le tableau de signe fini :

IV. Signe d'une fonction homographique

Définition :
On appelle fonction homographique toute fonction f qui peut s'écrire sous la forme du quotient de fonctions affines.
Soient $a$ , $b$ , $c$ et $d$ quatre nombres réels tels que $ad-bc\neq 0$ et $c\neq 0$ :

$f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}$

Propriété :
Une fonction homographique est définie sur $\mathbb R$ privé de la valeur qui annule son dénominateur dite valeur interdite.
Sa courbe représentative est une hyperbole qui comporte deux branches disjointes.

On représente ci-dessous la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\dfrac{x+1}{6x-12}$

La valeur interdite est $2$ car elle annule $6x-12$ .
graphique

Méthode d'étude du signe d'un quotient :
Résoudre l'inéquation :

$\dfrac{3x-5}{2x+7}\leq 0$

Etape 1 : on résout séparément chaque équation
- $3x-5=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{3}$ ;
- $2x+7=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{7}{2}$ ;
Etape 2 : on fait un tableau de signe où on indique sur la première ligne les bornes de l'ensemble de définition et les solutions trouvées à l'étape 1.
Etape 3 : on utilise ce que nous avons appris sur le signe d'une fonction affine (voir I.) en complétant les 2ème et 3ème lignes pour $3x-5$ et $2x + 7$ séparément.
Etape 4 : on utilise la propriété "règle des signes" du quotient de deux nombres relatifs (similaire à celle du produit rappelée ci-dessus) en remplissant la dernière ligne.
Attention !! On indique la valeur interdite par une double barre sur la dernière ligne.
Etape 5 : on conclut sur l'ensemble des solutions.
Ici on veut résoudre $\dfrac{3x-5}{2x+7}\leq 0$ , donc on cherche sur la dernière ligne $2x + 7$ le(s) intervalle(s) où le quotient est négatif (c'est-à-dire avec un signe $"-"$ ).

Voici le tableau fini :
tableau

Factorisation et étude de signes en 2nd

I. Signe d'une fonction affine

II. Factorisation

III. Signe du produit de deux fonctions affines

IV. Signe d'une fonction homographique

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