Racine carrée de 2 est irrationnel

Le but de cette fiche est de démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.

Démonstration des propriétés préalables

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si $a$ est pair, alors $a^2$ est pair

Si $a$, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de $2$ par un autre nombre entier.

Donc si $a$ est pair il existe un entier relatif $b$ tel que $a = 2 \times b = 2b$

Si $a=2b$ , alors $a^2=(2b)^2=4b^2=2\times(2b^2)=2M$
avec $M=2b^2$ or $b \in \mathbb{N}$ donc $2b^2 \in \mathbb {N}$ ;

Il existe donc bien un entier $M$ tel que $a^2=2M$.

On arrive bien à la conclusion :

Si $a$ est impair, alors $a^2$ est impair

Si $a$ est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute $1$

donc il peut s'écrire $a=2b+1$

alors : $a^2 = (2b+1)^2=4b^2+4b+1=2\times(2b^2+2b)+1= 2N+1$

avec $N=2b^2+2b$ qui est bien un entier

Conclusion des démonstrations préalables

Remarque : on peut également utiliser une démonstration par contra position.

Démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$

La démonstration de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ se fait par l'absurde.

On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse.

Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.

Hypothèse de départ

On suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel

Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs $p$ et $q$ tels que $\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$ et la fraction $(\dfrac{p}{q})$ est irréductible

Démonstration

$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$

donc $\sqrt{2}^2=(\dfrac{p}{q})^2=\dfrac{p^2}{q^2}$

donc $2=\dfrac{p^2}{q^2}$ donc $p^2=2q^2$

donc $p^2$ est pair donc $p$ est pair donc il existe un nombre relatif $p'$ tel que $p=2p'$

donc $p^2=4p'^2$ or $p^2=2q^2$

donc $2q^2=4p'^2$ donc $q^2=2p'^2$

donc $q$ est pair donc il existe un nombre relatif $q'$ tel que $q=2q'$

donc la fraction $\dfrac{p}{q}=\dfrac{2p'}{2q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était que $\sqrt{2}$ est rationnel.

Conclusion

par Zorro

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