Les fonctions affines en Seconde
Les fonctions affines sont les premières fonctions particulières étudiées au collège. Les notions déjà étudiées sont reprises dans la première partie. On introduit en classe de seconde l'étude des variations (notion vue dans le chapitre Variations d'une fonction : ...) des fonctions affines, ainsi que l'étude de leur signe. Pour déterminer graphiquement ou par le calcul le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine, on se reportera au chapitre équation de droite : ...
I. Notion de fonction affine.
1. Définitions.
Définition n°1 :
On appelle fonction affine une fonction définie sur par :
où et sont deux nombres réels donnés.
- Le réel est appelé coefficient directeur.
- Le réel est appelé ordonnée à l'origine.
Cas particuliers :
- Si , alors , on dit que la fonction est linéaire.
- Si , alors , on dit que la fonction est constante.
Exemples :
- La fonction définie par : est une fonction affine ( et ).
- La fonction définie par : est une fonction linéaire, donc affine ( et ).
2. Représentation graphique.
La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère est une droite. Il suffit donc de construire deux points pour la tracer.
Cas particuliers :
- La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.
- La représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Exemples :
Représenter graphiquement les fonctions , et défines sur par :
Pour la fonction :
Point | ||
---|---|---|
Pour la fonction :
Point | ||
---|---|---|
0 | 1 | |
2 | -3 |
II. Sens de variation
Propriété n°1 :
Le sens de variation d'une fonction affine définie par : dépend du signe de . On a :
- Si , la fonction est croissante sur .
- Si , la fonction est décroissante sur .
Preuve :
On considère deux nombres et tels que : .
-
Si , on a : , donc :
D'où : et donc est croissante sur . -
Si , on a : , et donc :
D'où : et donc est décroissante sur .
Remarque :
Si alors la fonction est constante sur .
Tableaux de variation :
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Exemples :
-
La fonction définie par est croissante sur car :
-
La fonction définie par est décroissante sur car :
III. Signe d'une fonction affine
1. Résolution de l'équation
On doit résoudre (avec non nul),
On a :
Donc : .
Cela signifie que la courbe représentative de la fonction coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées .
2. Signe de
- Si , la fonction est croissante donc les valeurs seront négatives puis positives avec la fonction qui s'annule en :
- Si , la fonction est décroissante donc les valeurs seront positives puis négatives avec la fonction qui s'annule en :
Exemples :
Donner le tableau de signe des fonctions définies sur par :
- On a : et , d'où le tableau :
- On a : et , d'où le tableau :
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