Les fonctions affines en Seconde

Les fonctions affines sont les premières fonctions particulières étudiées au collège. Les notions déjà étudiées sont reprises dans la première partie. On introduit en classe de seconde l'étude des variations (notion vue dans le chapitre Variations d'une fonction : ...) des fonctions affines, ainsi que l'étude de leur signe. Pour déterminer graphiquement ou par le calcul le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine d'une fonction affine, on se reportera au chapitre équation de droite : ...

I. Notion de fonction affine.

1. Définitions.

Définition n°1 :
On appelle fonction affine une fonction ff définie sur R\mathbb{R} par : f(x)=ax+bf(x) = ax + b
aa et bb sont deux nombres réels donnés.

  • Le réel aa est appelé coefficient directeur.
  • Le réel bb est appelé ordonnée à l'origine.

Cas particuliers :

  • Si b=0b = 0, alors f(x)=axf(x) = ax, on dit que la fonction ff est linéaire.
  • Si a=0a = 0, alors f(x)=bf(x) = b, on dit que la fonction ff est constante.

Exemples :

  • La fonction ff définie par : f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3 est une fonction affine (a=2a = 2 et b=3b = 3 ).
  • La fonction gg définie par : g(x)=4xg(x) = -4x est une fonction linéaire, donc affine (a=4a = -4 et b=0b = 0).

2. Représentation graphique.

La représentation graphique d'une fonction affine dans un repère est une droite. Il suffit donc de construire deux points pour la tracer.

Cas particuliers :

  • La représentation graphique d'une fonction linéaire passe par l'origine du repère.
  • La représentation graphique d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

Exemples :

Représenter graphiquement les fonctions ff, gg et hh défines sur R\mathbb{R} par :

  • f(x)=x2f(x) = x - 2
  • g(x)=2x+1g(x) = -2x + 1
  • h(x)=3h(x) = 3

Pour la fonction ff :

Point xx f(x)f(x)
AA 00 02=20- 2 =-2
BB 33 32=13 - 2 = 1

Pour la fonction gg :

Point xx g(x)g(x)
CC 0 1
DD 2 -3

Exemples de fonctions affines

II. Sens de variation

Propriété n°1 :
Le sens de variation d'une fonction affine définie par : f(x)=ax+bf(x) = ax + b dépend du signe de aa. On a :

  • Si a>0a > 0, la fonction ff est croissante sur R\mathbb{R}.
  • Si a<0a < 0, la fonction ff est décroissante sur R\mathbb{R}.

Preuve :
On considère deux nombres x1x_1 et x2x_2 tels que : x1<x2x_1 < x_2.

  • Si a>0a > 0, on a : ax1<ax2ax_1 < ax_2, donc : ax1+b<ax2+bax_1 +b < ax_2 +b
    D'où : f(x1)<f(x2)f(x_1) < f(x_2) et donc ff est croissante sur R\mathbb{R}.

  • Si a<0a < 0, on a : ax1>ax2ax_1 > ax_2, et donc : ax1+b>ax2+bax_1 +b > ax_2 +b
    D'où : f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2) et donc ff est décroissante sur R\mathbb{R}.

Remarque :
Si a=0a = 0 alors la fonction ff est constante sur R\mathbb{R}.

Tableaux de variation :

a>0a > 0 a<0a < 0
tableau a>0 tableau a<0

Exemples :

  • La fonction définie par f(x)=3x+6f(x) = 3x +6 est croissante sur R\mathbb{R} car : a=3>0a = 3 > 0

  • La fonction définie par g(x)=x+4g(x) = -x +4 est décroissante sur R\mathbb{R} car : a=1<0a = -1 < 0

III. Signe d'une fonction affine

1. Résolution de l'équation f(x)=0f(x) = 0

On doit résoudre ax+b=0ax + b = 0 (avec aa non nul),
On a : ax=bax = -b
Donc : x=bax = \frac{-b}{a}.
Cela signifie que la courbe représentative de la fonction ff coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées (ba;0)(\frac{-b}{a} ; 0).

2. Signe de ax+bax + b

  • Si a>0a > 0, la fonction ff est croissante donc les valeurs f(x)f(x) seront négatives puis positives avec la fonction qui s'annule en ba\frac{-b}{a} :

Tableau de signe pour a > 0

  • Si a<0a < 0, la fonction ff est décroissante donc les valeurs f(x)f(x) seront positives puis négatives avec la fonction qui s'annule en ba\frac{-b}{a} :

Tableau de signe pour a < 0

Exemples :
Donner le tableau de signe des fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

  • f(x)=3x+6f(x) = 3x +6
  • g(x)=x+4g(x) = -x +4
  • On a : a=3>0a = 3 > 0 et b=6b = 6, d'où le tableau :

Tableau de signe exemple 1

  • On a : a=1<0a = -1 < 0 et b=4b = 4, d'où le tableau :

Tableau de signe exemple 2

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