Vecteurs : coordonnées et colinéarité

I. Coordonnées d'un vecteur

Définition n°1 :
Soit un repère (0;I;J)(0;I;J) et u\vec u un vecteur.
Les coordonnées du vecteur u\vec u dans le repère (0;I;J)(0;I;J) sont les coordonnées (x;y)(x ; y) du point MM tel que : OM=uOM = \vec u

vecteurs-composantes

Notation :
On note très généralement :

u(xy)\vec u \binom{x}{y}

Exemple :
Donner les coordonnées des vecteurs suivants :
coordonees-vecteurs

Propriété n°1 :
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
Autrement dit,

pour u(xy) et v(xy), u et v sont eˊgaux si et seulement si x=x et y=y\textrm{pour }\vec u\binom{x}{y}\ \textrm{et}\ \vec v \binom{x'}{y'},\ u \textrm{ et }v\textrm{ sont égaux si et seulement si }x=x'\textrm{ et }y=y'

Propriété n°2 :
Dans un repère (O;I;J)(O;I;J), AA et BB sont deux points de coordonnées respectives (xA;yA)(x_A;y_A) et (xB;yB)(x_B ;y_B).
Le vecteur AB\overrightarrow{AB} a pour coordonnées (xBxAyByA)\dbinom{x_B-x_A}{y_B-y_A}

Exemple :
Dans un repère (O;I;J)(O ; I; J), on a les points A(2;3)A(-2 ; 3), B(4;1)B(4 ; -1) et C(5;3)C(5 ; 3).

  1. Calculer les coordonnées du vecteur ⃗AB .

On applique les formules (propriété n°2) : les coordonnées de AB\overrightarrow{AB} sont :

(4(2)13)=(64)\binom{4-(-2)}{-1-3}=\binom{6}{-4}

  1. Calculer les coordonnées du point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

On sait que ABDCABDC est un parallélogramme si et seulement si AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.
On cherche donc les coordonnées du point D(x;y)D( x ; y ) tel que AB=CD\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}. Les coordonnées de CD\overrightarrow{CD} sont (xD5yD3)\dbinom{x_D-5}{y_D-3}
Donc (xD;yD)(x_D;y_D) est solution du système :

{xD5=6yD3=4\left\{ \begin{array}{ccc} x_D-5 & = & 6 \\ y_D-3 & = & -4\\ \end{array}\right.

c'est à dire :

{xD=11yD=1\left\{ \begin{array}{ccc} x_D & = & 11 \\ y_D & = & -1\\ \end{array}\right.

Donc : D(11;1)D(11 ; -1)

Propriété n°3 : (somme de deux vecteurs)
Si u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs de coordonnées respectives (xy)\dbinom{x}{y} et (xy)\dbinom{x'}{y'}, alors les coordonnées du vecteur u+v\vec u +\vec v sont : (x+xy+y)\dbinom{x+x'}{y+y'}

Exemple :
On considère les vecteurs u(21)\vec u\dbinom{2}{-1} et v(32)\vec v\dbinom{3}{2}. Les coordonnées du vecteur u+v\vec u +\vec v sont : (2+31+2)=(51)\dbinom{2+3}{-1+2}=\dbinom{5}{1}.

II. Produit d'un vecteur par un réel

Définition n°2 :
Dans un repère, on considère un vecteur u(xy)\vec u\dbinom{x}{y} et λ\lambda (lire « lambda ») un réel.
La produit de u\vec u par λ\lambda est le vecteur λu\lambda\vec u de coordonnées (λxλy)\dbinom{\lambda x}{\lambda y}.

Exemple :
On considère le vecteur u(25)\vec u\dbinom{2}{-5}. Les coordonnées du vecteur 0,5u-0{,}5\vec u sont :

(2×(0,5)5×(0,5))=(12,5)\binom{2\times (−0{,}5)}{-5\times (-0{,}5)} = \binom{-1}{2{,}5}

Propriété n°4 :
Soient deux vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} et λ\lambda un réel tel que :AB=λCD\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{CD}.

  • Si λ>0\lambda >0, AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont de même sens et AB=λCDAB=λCD.
  • Si λ>0\lambda >0, AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont de sens contraire et AB=λCDAB=-λCD.

Remarque :
Ici, AB\overrightarrow{AB} et λCD\lambda\overrightarrow{CD} ont la même direction. Leur sens et leurs normes dépendent de λ\lambda.

III. Colinéarité

Définition n°3 :
Dire que deux vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires signifie qu'il existe un réel λ\lambda tel que :

u=λv\vec u=\lambda\vec v

Exemple :

  1. Les vecteurs u(23)\vec u\dbinom{2}{-3} et v(1015)\vec v\dbinom{10}{-15} sont-ils colinéaires ?

10=2×510 = 2\times 5 et 15=3×5-15=-3\times 5 donc v=5u\vec v = 5\vec u donc u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

  1. Les vecteurs m(45)\vec m\dbinom{4}{5} et x(810)\vec x\dbinom{8}{-10} sont-ils colinéaires ?

4×2=84\times 2 = 8 mais 5×2105\times 2 \neq -10 donc m\vec m et w\vec w ne sont pas colinéaires.

Remarque :
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.

Propriété n°5 :
Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs de coordonnées respectives (xy)\dbinom{x}{y} et (xy)\dbinom{x'}{y'}
u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si xy=yxxy' = yx'

Exemple :
Les vecteurs u(2354)\vec u\dbinom{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{-5}{4}} et v(815)\vec v\dbinom{-8}{15} sont-ils colinéaires ?
23×15=10\dfrac{2}{3}\times 15=10 et 8×(5)=10-8\times (-5)=10 donc u\vec u et v\vec v sont colinéaires.

Propriété n°6 : (parallélisme et alignement)

  • Deux droites (AB(AB) et (CD)(CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB\overrightarrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.
  • Trois points AA, BB et CC sont alignés si et seulement si les vecteurs \overrigtharrow{AB} et CD\overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Exemple :
Dans un repère, on considère les points M(0;3)M(0 ; -3), N(10;1)N(10 ; 1) et R(15;3)R(15 ; 3). Les points MM, NN et RR sont-ils alignés ?

Le vecteur MN\overrightarrow{MN} a pour coordonnées (104)\dbinom{10}{4} et le vecteur MR\overrightarrow{MR} a pour coordonnées (156)\dbinom{15}{6}.
10×6=6010\times 6=60 et 4×15=604\times 15=60 donc MN\overrightarrow{MN} et MR\overrightarrow{MR} sont colinéaires. Donc MM, NN et RR sont alignés.


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