Probabilités en 2nd
I. Vocabulaire des évènements
Définitions :
- On appelle expérience aléatoire, une expérience renouvelable dont les résultats possibles sont connus sans qu'on puisse déterminer à l'avance lequel sera réalisé.
Un résultat de cette expérience est appelé issue ou éventualité. - L'ensemble formé par les éventualités est appelé univers. Il est souvent noté (lire « oméga
-
- On appelle événement une partie de l'univers.
- Un événement ne comprenant qu'une seule issue est appelé un événement élémentaire.
-
- L'événement qui ne contient aucune éventualité est l'événement impossible noté .
- L'événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain.
- Pour tout événement , il existe un événement, noté , et appelé événement contraire de , qui est composé des éléments de qui ne sont pas dans .
Exemple : (qu'on gardera tout au long des paragraphes I. et II.)
- Lancer un dé à six faces est une expérience aléatoire dont « obtenir un 2 » est une éventualité.
- L'évènement : « Obtenir un nombre pair » est un événement que l'on peut noter :
L'événement : « Obtenir un 5 » est un événement élémentaire que l'on peut noter : - « Obtenir un 7 » est un événement impossible. « Obtenir un nombre positif » est un événement certain.
- Si est l'événement « obtenir un nombre inférieur ou égal à », alors son événement contraire est : « obtenir un 5 ou un 6 »
II. Intersection et réunion d'événements
Définition :
Soient et deux événements.
- L'intersection de et est l'événement qui regroupe les éventualités qui appartiennent à et à . On le note : (se lit " inter ")
- La réunion de et est l'événement qui regroupe les éventualités qui appartiennent à ou à . On le note : (se lit " union ")
Exemple :
On considère les événements suivants :
: « Obtenir un nombre pair »
: « Obtenir un multiple de »
Décrire les événements et
On a : et
: « Obtenir un nombre pair et multiple de 3 »
:«Obtenir un nombre pair ou un multiple de 3»
Remarques :
- Lorsque , on dit que A et B sont disjoints ou incompatibles.
- Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements.
III. Calcul de probabilités
Définitions :
Définir une loi de probabilité sur un univers consiste à associer à chaque issue un nombre compris entre et appelé probabilité de l'issue tel que :
– la somme des probabilités des issues est égal à .
– la probabilité d'un événement , notée , est la somme des probabilités des issues qui le réalisent
Exemple :
On lance un dé truqué. Le tableau suivant regroupe les probabilités d'apparitions de chacune des faces :
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
---|---|---|---|---|---|---|
? |
- Calculer :
- Calculer la probabilité de l'événement : : « Obtenir un nombre pair » :
Propriété n°1 :
- Soit un événement, on a :
Exemple :
Soit un événement tel que . On a alors :
Propriété n°2 :
Soient et deux événements, on a :
IV. Cas particulier : l'équiprobabilité
Définition :
Dire qu'il y a équiprobabilité signifie que tous les événements élémentaires de l'univers ont la même probabilité.
Dans ce cas, pour un événement , on a :
où est le nombre d'éléments de l'ensemble .
Remarque :
Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans l’énoncé un expression du type :
- on lance un dé non truqué,
- dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher,
- on rencontre au hasard une personne parmi ...
Exemple :
On lance un dé équilibré à 6 faces. On considère les événements :
- : « Obtenir un nombre pair »
- : « obtenir un diviseur de 6 ».
Comme le dé est équilibré, on a une situation d'équiprobabilité.
donc
$B = {1 ; 2 ; 3 ; 6} donc