La division

I. La division euclidienne

1. Cas général

Déterminer la division euclidienne de $700$ par $15$ revient à chercher le nombre entier qui, multiplié par $15$ , donne $700$ , ou s’en approche le plus possible en restant "plus petit" que $700$ .

On présente les calculs de la forme suivante :

A la main, on pose les opérations :

On dira alors que le quotient de la division euclidienne de $700$ par $15$ est $46$ et que le reste est $10$ .

Bilan :
On peut écrire l’égalité suivante pour résumer l’opération :

$\huge dividende=diviseur \times quotient + reste$

$\huge 700=15\times 46+10$

Remarque :
La division euclidienne est une opération dans laquelle ne figurent que des nombres entiers. Il n'y a pas de nombres décimaux.

2. Reste nul

La division euclidienne de $690$ par $15$ a un reste nul. On écrit comme dans le bilan précédent :

$\huge 690=15\times 46+0$

On dit alors que $690$ est un multiple de $15$ , ou $15$ est un diviseur de $690$ .

Définition :
Un nombre est multiple d’un autre nombre si le reste de la division euclidienne de l’un par l’autre est nul.

Exemple :

35 est un multiple de 5.

48 est un multiple de 8.

121 est un multiple de 11.

Remarque :
"Être un multiple" peut se traduire par "être dans la table de"

II. Division décimale

La division décimale est une opération qui fonctionne de la même manière que la division euclidienne, sauf qu'elle ne s'arrête pas au chiffre des unités.
Une fois la division euclidienne effectuée normalement, on va pouvoir diviser les unités restantes par le diviseur et ainsi trouver le nombre de dixièmes, centièmes... qui composent le quotient.

On présente ci-dessous les techniques de pose :

Remarque :
Le vocabulaire reste inchangé, on ne parle cependant plus de reste.

Exemple :
Après la pose des opérations, on trouve :

$25:8=3{,}125$ : cette opération se termine (cas n°1) ;

$45,4 : 11\approx 4{,}127$ : cette opération ne se termine pas (cas n°2).

III. Multiplier/Diviser par 10, 100, 100 / 0,1, 0,01, 0,001

Diviser un nombre par 10, 100, 1 000 revient à trouver un nombre 10, 100, 1 000 fois plus petit ;
Multiplier un nombre par 0,1, 0,01, 0,001 revient à trouver un nombre 10, 100, 1 000 fois plus petit ;
Diviser un nombre par 0,1, 0,01, 0,001 revient à trouver un nombre 10, 100, 1 000 fois plus grand.

IV. Bilan

Division euclidienne : dividende = diviseur × quotient + reste
Division décimale : dividende = diviseur × quotient
Si reste = 0, alors multiple.
La division est une opération qui servira à résoudre des problèmes de partage par exemple.