Ecriture décimale illimitée d'un rationnel

L'écriture décimale illimitée d'un rationnel est périodique, et réciproquement.
Cet article contient les explications, des exemples, ainsi que les démonstrations de cette propriété et de sa réciproque.

1.Propos liminaires

Presque tout le monde sait que $\dfrac{2}{3} = 0{,}66666…$

Les points de suspension indiquent qu’il y a d’autres chiffres après les $6$, et suggèrent que ces chiffres sont tous des $6$, en nombre infini.

C'est effectivement le cas : l’écriture est indéfiniment périodique, sa plus petite période est ici constituée du nombre $6$, sa longueur est donc $1$.

Pour traduire cette périodicité, j’écrirai :

Les nombres décimaux n’échappent pas à cette règle, tout en constituant un cas particulier, ainsi :

$\dfrac{4}{5}= 0{,}8$

Que l’on peut aussi écrire $0{,}80$ ou $0{,}800$ ou $0{,}8000$… c’est-à-dire $0{,}8[0]$.

2.Partie directe

Théorème

Démonstration

On se restreint aux rationnels positifs ; pour les négatifs, il suffit de placer le signe moins devant.

Rappelons qu'un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers (positifs dans le cas présent), de préférence premiers entre eux.

Soit $\dfrac{a}{b}$ un nombre rationnel positif ($b ≠ 0$).

Le quotient de $a$ par $b$ peut s’obtenir en effectuant la division dite « euclidienne » de $a$ par $b$, mais en la poursuivant, si besoin, au-delà de la virgule.

A chaque étape, le reste sera strictement inférieur à $b$.
Si un reste est nul, on a l’habitude d’arrêter l’opération : le rationnel est décimal.

Mais rien n’empêche de la continuer : on aura alors systématiquement le chiffre $0$ au quotient et $0$ pour reste. On a bien une « écriture illimitée périodique » de période $1$.

Si, par contre, aucun reste n’est nul, la division ne s’arrête pas mais puisque tous les restes sont inférieurs à $b$, on retombera tôt ou tard sur un reste déjà trouvé.

A partir de ce moment, les chiffres au quotient et les restes vont se répéter à l’identique de ce qu’ils étaient lors du premier reste égal au reste trouvé. L’écriture est donc illimitée périodique.

3. Réciproque

Théorème

Démonstration

Soit $x$ le nombre considéré ;
Soit $a$ sa partie non périodique : c’est un décimal donc un rationnel ;
Soit $b$ la période, $k$ sa longueur et $10^{-n}$ le premier rang où se situe son chiffre des unités.

Exemple :

On a donc :

Dans le crochet, on reconnaît la somme des termes d'une suite géométrique, de raison $10^{-k}$, tous inférieurs à $1$.

Cette somme est égale à $\dfrac{1}{1 - 10^{-k}} = \dfrac{10^k}{10^ k-1}$

Donc $x=a+\dfrac{b.10^{k-n}}{10^k-1}$ et $x$ est donc bien rationnel.

Exemple :

4.Ecriture décimale illimitée « impropre » d’un décimal

Que se passe-t-il si la période est $9$ ?

$b = 9$ et $k=1$, donc on aura $x=a+\dfrac{9.10^{1-n}}{10^1-1}$$=a+10^{1-n}$

Le résultat est décimal.

Ainsi se trouve une explication, par exemple du fait que l’égalité $0{,}99999… =1$ soit valable. (L’explication selon laquelle la différence ne peut être constituée que de zéros est plus « parlante » mais moins rigoureuse).

Remarque

Remarquons pour terminer que si la période est $9$, le nombre est nécessairement décimal. Les rationnels non décimaux n’ont donc pas d’écriture « impropre ».

Par mathtous

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