Inégalités et encadrements

Objectifs de cours

Ce cours est plus particulièrement destiné aux élèves de Seconde et au-delà, il traite des inégalités et vise à aider l’élève à :

  • Comparer deux nombres

  • Effectuer des opérations sur les inégalités (additions, multiplications, passages à l’inverse, etc). Et pour ceux qui veulent revenir très loin, il est toujours possible d'en revenir à la traditionnelle table de multiplication :) même si cela ne devrait pas être nécessaire en classe de Seconde.

1. Inégalités et addition

(a) Premier cas de figure

En ajoutant (ou en retranchant) un même nombre réel aux deux membres d’une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.

a⩽b⟺a+x⩽b+xa \leqslant b \Longleftrightarrow a+x \leqslant b+x

a⩽b⟺a−x⩽b−xa \leqslant b \Longleftrightarrow a-x \leqslant b-x

Exemple 1 :

1⩽51 \leqslant 5

donc 1+2⩽5+21+2 \leqslant 5+2 (soit 3⩽73 \leqslant 7)

et 1−2⩽5−21-2 \leqslant 5-2 (soit −1⩽3-1 \leqslant 3)

Exemple 2 :

−4⩽−2-4 \leqslant -2

donc −4+2⩽−2+2-4+2 \leqslant -2+2 (soit −2⩽0-2 \leqslant 0)

et −4−2⩽−2−2-4-2 \leqslant-2-2 (soit −6⩽−4-6 \leqslant -4)

(b) Second cas de figure

En ajoutant membre à membre deux inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens.

Si{a⩽bc⩽d Si \begin{cases} a \leqslant b\\ c \leqslant d\\ \end{cases}

Alors a+c⩽b+da+c\leqslant b+d

Exemple :

2⩽a⩽3+−5⩽b⩽−2\begin{aligned} 2 \leqslant a \leqslant 3\\ +-5 \leqslant b \leqslant -2\\ \end{aligned}
\rule{3cm}{0.3pt}
2−5⩽a+b⩽3−2−3⩽a+b⩽−1\begin{aligned} 2-5 \leqslant a+b \leqslant 3-2\\ -3 \leqslant a+b \leqslant -1\\ \end{aligned}

2. Inégalités et multiplication

a.1) Multiplication par un nombre strictement positif

Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.

Si{a⩽bx>0 Si \begin{cases} a \leqslant b\\ x > 0\\ \end{cases}

Alors ax⩽bxax \leqslant bx

Si{a⩽bx>0 Si \begin{cases} a \leqslant b\\ x > 0\\ \end{cases}

Alors ax⩽bx\dfrac{a}{x}\leqslant \dfrac{b}{x}

Exemple 1 :

1⩽51 \leqslant 5

donc
1×2⩽5×21 \times 2 \leqslant 5 \times 2 (soit 2⩽102 \leqslant 10)

Exemple 2 :

−4⩽−2-4 \leqslant -2

donc (−4)×2⩽(−2)×2(-4)\times 2 \leqslant (-2)\times 2 (soit −8⩽−4-8 \leqslant -4)

et −42⩽−22-\dfrac{4}{2} \leqslant - \dfrac{2}{2} (soit −2⩽−1-2 \leqslant -1)

a.2) Multiplication par un nombre strictement négatif

Lorsqu’on multiplie (ou divise) les deux membres d’une inégalité par un nombre réel strictement négatif, on obtient une inégalité sens contraire.

Si{a⩾bx<0 Si \begin{cases} a \geqslant b\\ x < 0\\ \end{cases}

Alors ax⩽bxax \leqslant bx

Si{a⩽bx<0 Si \begin{cases} a \leqslant b\\ x < 0\\ \end{cases}

Alors ax⩾bx\dfrac{a}{x}\geqslant \dfrac{b}{x}

Exemple 1 :

1⩽51 \leqslant 5
donc 1×(−2)⩾5×(−2)1\times(-2) \geqslant 5\times(-2) (soit −2⩾−10-2 \geqslant -10)

Exemple 2 :

−4⩽−2-4 \leqslant -2

donc (−4)×(−3)⩾(−2)×(−3)(-4)\times(-3) \geqslant (-2)\times (-3) (soit 12⩾612 \geqslant 6)

et −4−3⩾−2−3\dfrac{-4}{-3} \geqslant \dfrac{-2}{-3} (soit 43⩾23\dfrac{4}{3} \geqslant \dfrac{2}{3}

a.3) Dernier cas de figure

Deux réels et leurs oppposés sont rangés dans un ordre contraire.

Si a⩽ba \leqslant b alors −a⩾−b-a \geqslant -b

Exemple :

1⩽51 \leqslant 5
1×(−1)⩾5×(−1)1\times(-1) \geqslant 5\times(-1) (soit −1⩾−5-1 \geqslant -5)

(b) Multiplication membre à membre

En multipliant membre à membre deux inégalités de même sens et ne portant que sur des réels positifs ou nuls, on obtient une inégalité de même sens.

Si{0⩽a⩽b0⩽c⩽d Si \begin{cases} 0 \leqslant a \leqslant b\\ 0 \leqslant c \leqslant d\\ \end{cases}

Alors 0⩽ac⩽bd0 \leqslant ac \leqslant bd

Exemple :

2⩽a⩽3×1⩽b⩽5\begin{aligned} 2 \leqslant a \leqslant 3\\ \times 1 \leqslant b \leqslant 5\\ \end{aligned}
\rule{4cm}{0.3pt}
2×1⩽a×b⩽3×52⩽ab⩽15\begin{aligned} 2 \times 1 \leqslant a \times b \leqslant 3 \times 5\\ 2\leqslant a b \leqslant 15 \\ \end{aligned}

3. Rangement des inverses

(a) Cas des réels strictements positifs

Deux réels strictements positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.

Si 0<a⩽b0 < a \leqslant b

alors 1a⩾1b\dfrac{1}{a} \geqslant\dfrac{1}{b}

(b) Cas des réels strictements négatifs

Deux réels strictements négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses.

Si a⩽b<0a \leqslant b <0 alors 1a⩾1b\dfrac{1}{a} \geqslant \dfrac{1}{b}

Exemple 1 :

2⩽42 \leqslant 4
donc 12⩾14\dfrac{1}{2} \geqslant \dfrac{1}{4}

Exemple 2 :

−5⩽−1-5 \leqslant -1
donc 1−5⩾1−1\dfrac{1}{-5} \geqslant \dfrac{1}{-1} (soit 1−5⩾−1\dfrac{1}{-5} \geqslant -1)

4. Rangement des carrés

(a) Cas des réels positifs

Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

Si 0⩽a⩽b0 \leqslant a \leqslant b alors a2⩽b2a^2 \leqslant b^2

(b) Cas des réels négatifs

Deux réels négatifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs carrés.

Si a⩽b⩽0a \leqslant b \leqslant 0 alors a2⩾b2a^2 \geqslant b^2

Exemple :

−4⩽−2⩽0-4 \leqslant -2 \leqslant 0
donc (−4)2⩾(−2)2(-4)^2 \geqslant (-2)^2 (soit 16⩾416 \geqslant 4)

5. Rangement des racines carrées, des puissances

(a) Cas des réels positifs et de leurs racines carrés

Deux réels positifs sont rangés dans le même ordre que leurs racines carrés.

Si 0⩽a⩽b0 \leqslant a \leqslant b alors a⩽b\sqrt{a} \leqslant \sqrt{b}

(b) Deuxième cas de figure

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}* , deux réels positifs aa et bb sont rangés dans le même ordre que ana^n et bnb^n.

Si nn entier, n⩾1n \geqslant 1 ; 0⩽a⩽b0 \leqslant a \leqslant b alors an⩽bna^n \leqslant b^n

(c) Troisième cas de figure

Pour n∈Nn \in \mathbb{N}* ,et pour aa positif ou nul

Si 0⩽a⩽10 \leqslant a \leqslant 1 ; alors a⩾a2⩾a3⩾a4⩾a \geqslant a^2 \geqslant a^3 \geqslant a^4 \geqslant ...

Si 1⩾a1 \geqslant a ; alors a⩽a2⩽a3⩽a4⩽a \leqslant a^2 \leqslant a^3 \leqslant a^4 \leqslant ...

6. Application : techniques d’encadrement

Soient aa et bb deux réels tels que :

1<a<21 < a < 2 et −5<b<−3-5 < b < -3

Donner un encadrement des nombres suivants :

a+ba+b ; a−ba-b ; 3b−2a3b-2a ; abab ;ab\dfrac{a}{b}; ba\dfrac{b}{a} ; a−1b2\dfrac{\sqrt{a-1}}{b^2}

Note :
Pour ce type d’exercice, il est avantageux d’utiliser le symbole << toujours dans le même sens.
Ainsi, nous préférerons écrire −2<−a<−1-2 < -a < -1 plutôt que −1>−a>−2-1 > -a > -2.

  • a+ba+b : Addition membre à membre

1<a<2+−5<b<−3\begin{aligned} 1 < a < 2\\ +-5 < b < -3\\ \end{aligned}
\rule{3cm}{0.3pt}
1−5<a+b<2−3−4<a+b<−1\begin{aligned} 1-5 < a+b < 2-3\\ \boxed{-4 < a+b < -1}\\ \end{aligned}

  • a−ba-b : Addition membre à membre

1<a<2+3<−b<5\begin{aligned} 1 < a < 2\\ +3 < -b < 5\\ \end{aligned}
\rule{5cm}{0.3pt}
1+3<a+(−b)<2+54<a−b<7\begin{aligned} 1+3 < a+(-b) < 2+5\\ \boxed{4 < a-b < 7}\\ \end{aligned}

  • 3b−2a3b-2a : Addition membre à membre

(−5)×3<3b<(−3)×32×(−2)<−2a<1×(−2)\begin{aligned} (-5) \times 3 < 3b < (-3) \times 3\\ 2 \times (-2) < -2a < 1 \times (-2)\\ \end{aligned}

\rule{4cm}{0.3pt}
−15<3b<−9−4<−2a<−2−15−4<3b−2a<−9−2−19<3b−2a<−11\begin{aligned} -15 < 3b < -9 \\ -4 < -2a < -2 \\ -15-4 < 3b-2a <-9-2\\ \boxed{-19 < 3b-2a < -11}\\ \end{aligned}

  • abab : Multiplication membre à membre

La multiplication membre à membre n’étant autorisée que pour les nombres strictements positifs, il faut au préalable encadrer −b-b.

3<−b<5×1<a<2\begin{aligned} 3 < -b < 5\\ \times 1 < a < 2\\ \end{aligned}
\rule{5cm}{0.3pt}
3×1<−ba<2×53<−ba<10−10<ab<−3\begin{aligned} 3 \times 1 < -ba < 2 \times 5\\ 3 < -ba < 10 \boxed{-10 < ab < -3}\\ \end{aligned}

  • ab\dfrac{a}{b} :

ab=a×1b\dfrac{a}{b} = a \times \dfrac{1}{b}

Comme précedemment, il faut s’assurer que les deux facteurs soient strictement positifs.

−13<1b<−15\dfrac{-1}{3} < \dfrac{1}{b} < \dfrac{-1}{5}

15<−1b<13×1<a<2\begin{aligned} \dfrac{1}{5} < \dfrac{-1}{b} < \dfrac{1}{3}\\ \times 1 < a < 2\\ \end{aligned}
\rule{5cm}{0.3pt}
15×1<−1b×a<13×215<−ab<23−23<ab<−15\begin{aligned} \dfrac{1}{5} \times 1 < \dfrac{-1}{b} \times a < \dfrac{1}{3} \times 2\\ \dfrac{1}{5} < \dfrac{-a}{b} < \dfrac{2}{3} \boxed{ \dfrac{-2}{3} < \dfrac{a}{b} < \dfrac{-1}{5}}\\ \end{aligned}

  • ba\dfrac{b}{a} :

3<−b<512<a<1\begin{aligned} 3 < -b < 5\\ \dfrac{1}{2} < a < 1\\ \end{aligned}
\rule{5cm}{0.3pt}
3×12<(−b)×1a<5×132<−ba<5−5<ab<−32\begin{aligned} 3 \times \dfrac{1}{2} < (-b) \times \dfrac{1}{a} < 5 \times 1\\ \dfrac{3}{2} < \dfrac{-b}{a} < 5 \boxed{ -5 < \dfrac{a}{b} < \dfrac{-3}{2}}\\ \end{aligned}

  • a−1b2\dfrac{\sqrt{a-1}}{b^2}

1−1<a−1<2−10<a−1<10<a−1<1−5<b<−39<b2<25\begin{aligned} 1-1 < a-1 < 2-1\\ 0 < a-1 < 1\\ 0 < \sqrt{a-1} < 1\\ -5 < b <-3\\ 9 < b^2 < 25 \end{aligned}

125<1b2<19×0<a−1<1\begin{aligned} \dfrac{1}{25} < \dfrac{1}{b^2} < \dfrac{1}{9}\\ \times 0 < \sqrt{a-1} < 1\\ \end{aligned}
\rule{5cm}{0.3pt}
125×0<1b2×a−1<19×10<a−1b2<19\begin{aligned} \dfrac{1}{25} \times 0 < \dfrac{1}{b^2} \times \sqrt{a-1} < \dfrac{1}{9} \times 1\\ \boxed{ 0 < \dfrac{\sqrt{a-1}}{b^2}< \dfrac{1}{9}}\\ \end{aligned}

Vous serez désormais incollable sur les inégalités et les encadrements ! S'il vous reste des questions, des zones d'ombre ou si vous faites face à un problème mathématique compliqué à résoudre, n'oubliez pas que vous pouvez solliciter l'aider bienveillante de nos modérateurs sur le forum du site. Un forum dédié à la Seconde mais aussi à tous les niveaux du collège au supérieur, vous permettra de poser vos questions pour y obtenir une réponse rapide et documentée.

Par miumiu

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