Continuité et dérivabilité en Term ES

I. Nombre dérivé et fonction dérivée

1. Taux de variation

taux-de-variation
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R$ et $\mathcal C_f$ sa représentation graphique.
Soit $A(a\ ;f(a))$ et $M(a+h\ ;f(a+h))$ , $a\in\mathbb R,\ h\in\mathbb R$ .
$A$ et $M$ sont deux points de $\mathcal C_f$ .
Le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ est égal au taux de variation de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ .
C'est également l'accroissement moyen de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$ .

Interprétation géométrique :
Ce quotient est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ .

2. Nombre dérivé

Définition :
Si le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers un nombre fini lorsque $h$ tend vers $0$ , la fonction est dite dérivable en $a$ et la limite de ce rapport est appelée nombre dérivé de $f$ en $a$ et est noté $f'(a)$ .

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$

Interprétation géométrique :
Quand $h\rightarrow 0$ , le point $M$ se rapproche du point $A$ . Les sécantes $(AM)$ se "rapprochent", tendent vers la tangente au point d'abscisse $a$ ( $T_A$ sur le graphique).
Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ est égal à $f'(a)$ .
L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est donnée par

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

On définit alors une fonction, qu'on appelle fonction dérivée de $f$ notée $f'$ lorsqu'on calcule le nombre dérivé en $a$ de la fonction $f$ mais pour tout $a$ . Nous définirons plus loin les nombres $a$ concernés.

3. Fonctions dérivées usuelles.

Nous pouvons présenter les fonctions dérivées usuelles dans un tableau.

$f$	$f'$
$c,\ c\in\mathbb R$	$0$
$x$	$1$
$x^2$	$2x$
$x^n$	$n\times x^{n-1}$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$

Démontrons une de ces formules :
Prenons $f(x)=x^2$
Calculons le taux d'accroissement de la fonction $f$ en un point $a$ .

$\begin{array}{cccc} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}&=&\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}\\ &=& \dfrac{a^2+h^2+2ah-a^2}{h}&\textrm{ on a utilisé ici une identité remarquable)}\\ &=& \dfrac{2ah+h^2}{h}\\ &=& \dfrac{h(2a+h)}{h}\\ &=& 2a+h \end{array}$

La limite de ce taux d'accroissement quand $h\rightarrow 0$ vaut $2a$ , et ce quelque soit le nombre $a$ .
Ainsi,

$f'(x)=2x$

Les autres démonstrations sont semblables.
On a aussi un tableau résumant les opérations que l'on peut faire avec les fonctions dérivées :
On note ici que $u$ et $v$ sont deux fonctions.

$f$	$f'$
$u+v$	$u'+v'$
$u\times v$	$u'v+uv'$
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$
$\dfrac{1}{v}$	$-\dfrac{v'}{v^2}$

Exemples :

$f(x)=x^4+x^2+\dfrac{1}{2}\longrightarrow f'(x)=4x^3+2x$
$g(x)=\dfrac{x^2}{3}+2\sqrt x\longrightarrow g'(x)=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{\sqrt x}$
$h(x)=(2x^2-2x)(x^2-5)$
On pose $u(x)=2x^2-2x$ et $v(x)=x^2-5$
On calcule $u'$ et $v'$ :
$u'(x)=4x-2$ et $v'(x)=2x$
Ainsi,

$\begin{array}{ccc} h'(x)&=&(4x-2)(x^2-5)+(2x^2-2x)(2x)\\ &=& 8x^3-6x^2-20x+10\\ \end{array}$

$i(x)=\dfrac{3x+1}{x^2-3}$
Même raisonnement, on pose $u(x)=3x+1$ et $v(x)=x^2-3$ et on calcule $u'$ et $v'$ .
$u'(x)=3$ et $v'(x)=2x$
Ainsi,

$\begin{array}{ccc} i'(x)&=&\dfrac{3(x^2-3)-2x(3x+1)}{(x^2-3)^2}\\ &=& \dfrac{-3x^2 -2x-9}{(x^2-3)^2}\\ \end{array}$

3. Variation d'une fonction

Propriété :
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $I$ de dérivée $f'$ . Alors on a :

si $f'(x)>0$ sur $I$ , alors $f$ est croissante sur $I$ ;
si $f'(x)<0$ sur $I$ , alors $f$ est décroissante sur $I$ ;
si $f'(x)=0$ sur $I$ , alors $f$ est constante sur $I$ .

Exemple :
On définit $f$ sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^3-3x+1$ .
On calcule sa dérivée : $f'(x)=3x^2-3$ .
Il faut étudier le signe de $f'$ :
$f'(x)>0\Longleftrightarrow 3x^2-3>0\Longleftrightarrow x^2>1\Longleftrightarrow x>1\textrm{ ou } x<-1$ .
On peut alors dresser le tableau de variations de la fonction $f$ :
fonction-derivee

II. Continuité et convexité

1. Continuité

Définition :
Une fonction $f$ est dite continue sur un intervalle $\lbrack a\ ;b\rbrack$ si on peut tracer sa représentation graphique sur cet intervalle "sans lever le stylo".

Remarque :
Il s'agit bien entendu ici d'une définition non rigoureuse de la continuité d'une fonction.

Voici deux exemples de fonctions continues et non continues :

continue	non continue

la fonction est continue sur $\mathbb R$	la fonction n'est pas continue en $0$

2. Théorème des valeurs intermédiaires

theoreme-des-valeurs-intermediaires
Soit $f$ une fonction continue dans l'intervalle $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ et $k$ un réel donné compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .
Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ .

Théorème des valeurs intermédiaires :
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone dans l'intervalle $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ et $k$ un réel donné compris entre $f(a)$ et $f(b)$ .
Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ .

On a rajouté ici la condition de stricte monontonie.

Justifier que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\lbrack -5\ ;\ 5\rbrack$ , puis encadrer cette solution à l'unité.

La fonction $f$ est continue et strictement monotone sur $\lbrack -5\ ;\ 5\rbrack$ .
$f(-3{,}5)=-4$ ; $f(3{,}5)=3$
On a alors : $f(-3{,}5)<0$ et $f(3{,}5)>0$ .
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ adment une unique solution sur $\lbrack -5\ ;\ 5\rbrack$ .
En affinant nos recherches, on trouve que la solution $x_0$ de l'équation $f(x)=0$ vérifie :

$-2$

À l'aide la calculatrice, on peut bien sûr affiner le résultat et y apporter encore plus de précision.

3. Convexité

Définition :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal C_f$ sa courbre représentative.

$f$ est dite convexe si et seulement si $\mathcal C_f$ est située au dessus de ses tangentes ;
$f$ est dite concave si et seulement si $\mathcal C_f$ est située au dessous de ses tangentes.

Exemples :

convexe	concave


$\mathcal C_f$ est au dessus de ses tangentes	$\mathcal C_f$ est au dessous de ses tangentes

Propriété :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable ur $I$ .

$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si la fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$ , c'est-à-dire si la fonction $f''$ est positive sur $I$ ;
$f$ est concave sur $I$ si et seulement si la fonction dérivée $f'$ est décroissante sur $I$ , c'est-à-dire si la fonction $f''$ est négative sur $I$ .

Exemples :

$f(x)=x^2$
$f'(x)=2x$
$f''(x)=2$
La fonction $f$ est convexe sur $\mathbb R$ .

$g(x)=\sqrt x$
$g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$g''(x)=\dfrac{-1}{\sqrt x(2\sqrt x)^2}$
$g''$ est négative, la fonction $g$ est donc concave sur $\rbrack 0\ ;\ +\infty\lbrack$ .

Propriété :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb R$ et $f''$ sa fonction dérviée seconde.
Soit $\mathcal C_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ .
Si $f''$ s'annule en changeant de signe en $x_0$ , la courbe adment au point d'abscisse $x_0$ un point d'inflexion. En ce point, la tangente traverse la courbe.

Remarque :
Un point d'inflexion est un point où s'opère un changement de concavité de la courbe de $f$ .

Exemple :
Posons $f(x)=x^3$ .
On a : $f'(x)=3x^2$ et $f''(x)=6x$ .
La fonction $f''$ s'annule en $x_0=0$ et change de signe.
Sur $\rbrack -\infty\ ;\ 0\rbrack$ , la fonction $f$ est concave et sur $\lbrack 0\ ;\ +\infty\lbrack$ , elle est convexe.
$\mathcal C_f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse $0$ .