Les suites numériques en Term ES

I. Deux types de suites connues

1. Définitions

Défintion n°1 :
Une suite uu est dite arithmétique si l'on peut trouver un réel aa tel que

un+1=un+au_{n+1}=u_n+a

Pour passer d'un terme au suivant, on ajoute toujours aa.

aa s'appelle la raison de la suite arithmétique.

Défintion n°2 :
Une suite vv est dite géométrique si l'on peut trouver un réel qq tel que

vn+1=vn×qv_{n+1}=v_n\times q

Pour passer d'un terme au suivant, on multiplie toujours qq.

qq s'appelle la raison de la suite géométrique.

2. Calcul du terme de rang nn

Cas d'une suite arithmétique
Le terme général d'une suite arithmétique est donné par la définition :

un+1=un+a et ce quelque soit n entier naturelu_{n+1}=u_n+a\textrm{ et ce quelque soit }n\textrm{ entier naturel}

Cela est valable aussi pour n1n-1.
Ainsi,

un=un1+au_n=u_{n-1}+a

De manière analogue, on obtient alors :

un=un1+a=un2+2a==u0+nau_n=u_{n-1}+a=u_{n-2}+2a=\ldots =u_0+na

D'où la propriété suivante :

Propriété :
Pour tout nNn\in\mathbb N, on a

un=u0+nau_n=u_0+na

Cas d'une suite géométrique
Le terme général d'une suite géométrique est donné par la définition :

vn+1=vn×q et ce quelque soit n entier naturelv_{n+1}=v_n\times q\textrm{ et ce quelque soit }n\textrm{ entier naturel}

Cela est valable aussi pour n1n-1.
Ainsi,

vn=vn1×qv_n=v_{n-1}\times q

De manière analogue, on obtient alors :

vn=vn1×q=vn2×q2==v0×qnv_n=v_{n-1}\times q=v_{n-2}\times q^2=\cdots =v_0\times q^n

D'où la propriété suivante :

Propriété :
Pour tout nNn\in\mathbb N et vv une suite géométrique, on a

vn=v0×qnv_n=v_0\times q^n

vn=vp×qnpv_n=v_p\times q^{n-p}

3. Reconnaitre le type de suite

Pour une suite arithmétique :

un+1un=au_{n+1}-u_n=a

Pour une suite géométrique :

vn+1vn=q\frac{v_{n+1}}{v_n}=q

II. Somme des termes d'une suite géométrique

On notera SnS_n la somme des termes d'une suite géométrique vv.

Remarque :
Si q=1q=1, la suite est toujours multipliée par 11. Elle est donc stationnaire et vaut le premier terme, soit v0v_0.
Ainsi,

Sn=v0+v1++vn=(n+1)v0S_n=v_0+v_1+\ldots +v_n=(n+1)v_0

Dans ce paragraphe, on suppose q=1q=1

Procédons par étapes :

  • 1+q+q2++qn1+q+q^2+\ldots +q^n

Posons S=1+q+q2++qnS=1+q+q^2+\ldots +q^n
Alors q×S=q+q2+q3++qn+1q\times S=q+q^2+q^3+\ldots +q^{n+1}
On soustrait les deux expressions :

SqS=1+q+q2++qn(q+q2+q3++qn+1)SqS=1qn+1S(1q)=1qn+1S=1qn+11q\begin{array}{ccc} S-qS &=& 1+q+q^2+\ldots +q^n - (q+q^2+q^3+\ldots +q^{n+1})\\ S-qS&=& 1-q^{n+1} \\ S(1-q) &=& 1-q^{n+1}\\ S &=& \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{array}

Ainsi,

1+q+q2++qn=1qn+11q1+q+q^2+\ldots +q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

  • v0+v1++vnv_0+v_1+\ldots +v_n

Sn=v0+v1++vnSn=v0+qv0+q2v0++qnv0Sn=v0(1+q+q2++qn)\begin{array}{ccc} S_n &=& v_0+v_1+\ldots +v_n\\ S_n &=& v_0+qv_0+q^2v_0+\ldots +q^nv_0\\ S_n &=& v_0(1+q+q^2+\ldots +q^n)\\ \end{array}

Ainsi,

Sn=v0×1qn+11qS_n=v_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

III. Variations d'une suite géométrique à termes strictement positifs

1. Sens de variations

vn+1vn=qvnvn=vn(q1)v_{n+1}-v_n=qv_n - v_n=v_n(q-1)
La suite vv est à termes strictement positifs, donc vn>0,nNv_n>0,\forall n\in\mathbb N
Donc vn+1vnv_{n+1}-v_n est du même signe que q1q-1.
On dresse alors la propriété suivante :

Propriété :

  • Si q>1q>1, vn+1vn>0v_{n+1}-v_n>0, la suite est croissante ;
  • Si q<1q<1, vn+1vn<0v_{n+1}-v_n<0, la suite est décroissante ;
  • Si q=1q=1, vn+1vn=0v_{n+1}-v_n=0, la suite est constante.

Ce résultat est assez intuitif : lorsque l'on multiplie par un nombre inférieur à 1, on obtient un nombre plus petit.

2. Limite d'une suite géométrique

Théorème :

  • Si q>1q>1, la suite (qn)(q^n) a pour limite ++\infty ;
  • Si q<1q<1, la suite (qn)(q^n) a pour limite 00 ;
  • Si q=1q=1, la suite (qn)(q^n) a pour limite 11.

Comme le résultat précédent, ce dernier résultat est assez intuitif. Il suffit de calculer les puissances successives de 0,80{,}8 pour remarquer que, plus l'exposant est élevé, plus le nombre s'approche de 00.


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