Les suites numériques en Term ES

I. Deux types de suites connues

1. Définitions

$a$ s'appelle la raison de la suite arithmétique.

$q$ s'appelle la raison de la suite géométrique.

2. Calcul du terme de rang $n$

Cas d'une suite arithmétique
Le terme général d'une suite arithmétique est donné par la définition :

$u_{n+1}=u_n+a\textrm{ et ce quelque soit }n\textrm{ entier naturel}$

Cela est valable aussi pour $n-1$.
Ainsi,

$u_n=u_{n-1}+a$

De manière analogue, on obtient alors :

$u_n=u_{n-1}+a=u_{n-2}+2a=\ldots =u_0+na$

D'où la propriété suivante :

Cas d'une suite géométrique
Le terme général d'une suite géométrique est donné par la définition :

$v_{n+1}=v_n\times q\textrm{ et ce quelque soit }n\textrm{ entier naturel}$

Cela est valable aussi pour $n-1$.
Ainsi,

$v_n=v_{n-1}\times q$

De manière analogue, on obtient alors :

$v_n=v_{n-1}\times q=v_{n-2}\times q^2=\cdots =v_0\times q^n$

D'où la propriété suivante :

3. Reconnaitre le type de suite

Pour une suite arithmétique :

$u_{n+1}-u_n=a$

Pour une suite géométrique :

$\frac{v_{n+1}}{v_n}=q$

II. Somme des termes d'une suite géométrique

On notera $S_n$ la somme des termes d'une suite géométrique $v$.

Remarque :
Si $q=1$, la suite est toujours multipliée par $1$. Elle est donc stationnaire et vaut le premier terme, soit $v_0$.
Ainsi,

$S_n=v_0+v_1+\ldots +v_n=(n+1)v_0$

Procédons par étapes :

• $1+q+q^2+\ldots +q^n$

Posons $S=1+q+q^2+\ldots +q^n$
Alors $q\times S=q+q^2+q^3+\ldots +q^{n+1}$
On soustrait les deux expressions :

$\begin{array}{ccc} S-qS &=& 1+q+q^2+\ldots +q^n - (q+q^2+q^3+\ldots +q^{n+1})\\ S-qS&=& 1-q^{n+1} \\ S(1-q) &=& 1-q^{n+1}\\ S &=& \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{array}$

Ainsi,

$1+q+q^2+\ldots +q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$

• $v_0+v_1+\ldots +v_n$

$\begin{array}{ccc} S_n &=& v_0+v_1+\ldots +v_n\\ S_n &=& v_0+qv_0+q^2v_0+\ldots +q^nv_0\\ S_n &=& v_0(1+q+q^2+\ldots +q^n)\\ \end{array}$

Ainsi,

$S_n=v_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

III. Variations d'une suite géométrique à termes strictement positifs

1. Sens de variations

$v_{n+1}-v_n=qv_n - v_n=v_n(q-1)$
La suite $v$ est à termes strictement positifs, donc $v_n>0,\forall n\in\mathbb N$
Donc $v_{n+1}-v_n$ est du même signe que $q-1$.
On dresse alors la propriété suivante :

Ce résultat est assez intuitif : lorsque l'on multiplie par un nombre inférieur à 1, on obtient un nombre plus petit.

2. Limite d'une suite géométrique

Comme le résultat précédent, ce dernier résultat est assez intuitif. Il suffit de calculer les puissances successives de $0{,}8$ pour remarquer que, plus l'exposant est élevé, plus le nombre s'approche de $0$.