La fonction logartihme en terminale ES

I. Défintion et propriétés

1. Lien avec la fonction exponentielle

Chaque réel du demi axe des ordonnées est l'image d'un seul xx de l'axe des abscisses par la fonction exponentielle.
fonction-logarithme

  • 11 est l'image de 00 : 1=e01=e^0 ;
  • ee est l'image de 11 : e=e1e=e^1 ;
  • 22 est l'image du nombre noté ln2\ln 2 : eln2=2e^{\ln 2}=2 ;
  • 55 est l'image du nombre noté ln5\ln 5 : eln5=5e^{\ln 5}=5 .

On peut trouver des valeurs approchées à l'aide de la calculatrice :

ln20,693 et ln5=1,609\ln 2\approx 0{,}693\textrm{ et }\ln 5=1{,}609

2. Les conséquences

  • lna\ln a existe que si a>0a>0 ;
  • ln1=0\ln 1=0 car 1=e01=e^0 ;
  • lne=1\ln e=1 car e=e1e=e^1 ;
  • Résolution d'équations :
    • ex=2x=ln2e^x=2\Longleftrightarrow x=\ln 2 ;
    • ex=7x=ln7e^x=7\Longleftrightarrow x=\ln 7 ;
    • ex=3,5x=ln3,5e^x=3{,}5\Longleftrightarrow x=\ln 3{,}5 ;
    • lnx=2x=e2\ln x=2\Longleftrightarrow x=e^2
    • lnx=2,8x=e2,8\ln x=-2,8\Longleftrightarrow x=e^{-2{,}8}

On peut écrire alors la propriété suivante :

Propriété :

  • Pour a>0 :

ex=ax=lnae^x=a\Longleftrightarrow x=\ln a

  • Pour aa quelconque :

lnx=ax=ea\ln x=a\Longleftrightarrow x=e^a

Conséquences immédiates :

  • elna=a, a>0e^{\ln a}=a,\ a>0
  • lnea=a\ln e^a=a

Définition :
On définit alors une fonction notée ln\ln se nommant "logarithme népérien".

3. Propriété du logarithme népérien

Pour a>0a>0 et b>0b>0, on a :

  • ln(ab)=lna+lnb\ln (ab)=\ln a +\ln b ;
  • lnab=lnalnb\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b ;
  • ln1b=lnb\ln\dfrac{1}{b}=-\ln b ;
  • Pour nNn\in\mathbb N, ln(an)=nlna\ln (a^n)=n\ln a.

II. La fonction ln\ln et les associées

1. La fonction ln\ln

On retrouve ici les premières propriétés de la fonction ln\ln.
On la définit par :

x]0;+[, f(x)=ln(x)=lnx\forall x\in\rbrack0;+\infty\lbrack,\ f(x)=\ln (x)=\ln x

Sa dérivée est donnée par :

(lnx)=1x(\ln x)'=\frac{1}{x}

On dresse ici les variations de la fonction ln\ln :
x]0;+[\forall x\in\rbrack 0;+\infty\lbrack, 1x\dfrac{1}{x} ne s'annule pas et reste toujours positif. Ainsi,
variations-logartihme
On en déduit que la fonction ln\ln est strictement croissante.

Conséquences directes :

  • Pour x[0;1], lnx<0x\in\lbrack 0;1\rbrack,\ \ln x<0
  • Pour x[1;+], lnx>0x\in\lbrack 1;+\infty\rbrack,\ \ln x>0
  • lna=lnba=b\ln a=\ln b\Longleftrightarrow a=b

On donne aussi quelques valeurs à connaître :

  • lne=1\ln e=1
  • ln1=0\ln 1=0

Une primitive de 1x\dfrac{1}{x} est lnx\ln x.
Il n'est pas nécessaire de connaître une primitive de lnx\ln x, mais pour les curieux, F(x)=xlnxxF(x)=x\ln x - x est un bon candidat !

2. Fonction lnu\ln u

Si on considère que g(x)=ln(u(x))g(x)=\ln (u(x)), alors

g(x)=u(x)u(x)g'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}

Exemple :
g(x)=ln(3x4)g(x)=\ln (3x-4)

g(x)=33x4g'(x)=\frac{3}{3x-4}

Une primitive de uu\dfrac{u'}{u} est lnu\ln u.

III. Fonction ln\ln et équations "puissances"

Pour résoudre un équation de type xn=kx^n=k d'inconnue nn, on utilise la propriété de ln\ln:

xn=klnxn=lnknlnx=lnkn=lnklnxx^n=k\Rightarrow\ln x^n=\ln k\Rightarrow n\ln x=\ln k\Rightarrow n=\dfrac{\ln k}{\ln x}

Exemple :
Une action gagne 5% par an. Au bout de combien d'années aura-t-elle doublé ?
5% d'augmentation revient à mutliplier par 1,051{,}05.
On cherche donc un entier nn représentant le nombre d'année tel que :

p×1,05n2×p ouˋ p est le prix d’une action.p\times 1{,}05^n\geq 2\times p\textrm{ où }p\textrm{ est le prix d'une action.}

1,05n2ln(1,05n)ln2nln1,05ln2nln2ln1,05\begin{array}{ccc} 1{,}05^n & \geq & 2 \\ \ln (1{,}05^n) & \geq & \ln 2 \\ n\ln 1{,}05 & \geq & \ln 2 \\ n & \geq & \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05} \end{array}

ln2ln1,0514,21\dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}05}\approx 14{,}21
C'est donc au bout de 15 années que le prix de l'action aura doublé.


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