Intégration en Term ES

I. Primitives

Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Un primitive de $f$ sur $I$ est un fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :

$\textrm{pour tout }x\in I,\ F'(x)=f(x)$

Exemple :

$f(x)=1\longrightarrow F(x)=x$

$f(x)=2x\longrightarrow F(x)=x^2$

$f(x)=x\longrightarrow F(x)=\dfrac{x^2}{2}$

Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet au moins une primitve sur $I$ .

On range les primitives des fonctions dites "usuelles" dans un tableau :

fonction	primitive
$a,\ a\in\mathbb R$	$ax$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$
$x^2$	$\dfrac{x^3}{3}$
$x^n$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$
$\dfrac{1}{\sqrt x}$	$2\sqrt x$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln x$

On peut aussi résumer les différentes formules de primitives, où $u$ et $v$ sont des fonctions quelconques :

fonction	primitive
$u+v$	$U+V$
$k\times f,\ k\in\mathbb R$	$k\times F$
$u'e^u$	$e^u$

Procédons à quelques exemples :

$f_1(x)=3+x^3+x^5\longrightarrow F_1(x)=3x+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^6}{6}$
$f_2(x)=3x+5x^2-\dfrac{1}{\sqrt x}\longrightarrow F_2(x)=\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{5x^3}{3}-2\sqrt x$
$f_3(x)=2e^{2x+1}\longrightarrow F_3(x)=e^{2x+1}$
$f_4(x)=5e^{-3x+2}\longrightarrow F_4(x)=\dfrac{5}{3}e^{-3x+2}$

Théorème :
Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb R$ et $F$ une de ses primitives.
Toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $G$ définies par

$G(x)=F(x)+k,\ k\in\mathbb R$

On généralise ici la notion de primitive en montrant que, pour trouver toutes les primitives, il faut en trouver une.

Théorème :
Soit $f$ une fonction continue sur $I$ , $x_0\in I$ et $y_0$ un réel donné.
Il existe une unique primitive $F$ de la fonction $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$

Exemple :
Soit $f(x)=x+1$ .
Déterminer la primitive de $f$ qui s'annule en $1$ , c'est-à-dire $F(1)=0$ .
D'après les formules du tableau précédent, on a

$F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+k$

On résout $F(1)=0$ afin de déterminer la constante $k$

$\begin{array}{ccc} F(1)=0 &\Longleftrightarrow&\dfrac{1}{2}+1+k=0 \\ &\Longleftrightarrow&k=\dfrac{3}{2} \\ \end{array}$

Ainsi,

$F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{3}{2}$

II. Intégrale

1. Généralités

Définition :
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\lbrack a\ ;b\rbrack$ . Soit $F$ une primitive de $f$ sur $\lbrack a\ ;b\rbrack$ .
L'intégrale de la fonction $f$ sur $\lbrack a\ ;b\rbrack$ , notée $\int_a^b f(x)dx$ , est le réel défini par

$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$

Exemple :

$\int_1^2 xdx =\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2=F(2)-F(1)=2-0{,}5=1{,}5$

Propriété :
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb R$ et $F$ une de ses primitives. La fonction $G$ définie par

$G(x)=\int_a^x f(t)dt$

est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Démonstration :

$G(x)=\int_a^x f(t)dt=\left[F(t)\right]_a^x=F(x)-F(a)$

$G$ est la somme d'une primitive de $f$ et d'une constante $(F(a))$ . C'est donc une primitive de $f$ .
De plus, $G(a)=F(a)-F(a)=0$ .
Donc $G$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $a$ .

Énonçons quelques propriétés de l'intégrale :

Propriété :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies et continues sur un intervalle $\lbrack a\ ;b\rbrack$ .

$\int_a^a f(x)dx=0$
$\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx$
Relation de Chasles :

$\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx$

Linéarité de l'intégrale :

$\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx +\int_a^b f(x)dx$

$\int_a^bk\times f(x)dx =\int_a^b f(x)dx$

$f(x)\geq 0 \iff \int_a^b f(x)dx \geq 0$
$f(x)\leq 0 \iff \int_a^b f(x)dx \leq 0$
$f(x)\leq g(x)\iff \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx$

2. Interprétation géométrique

Soit un repère orthogonal $(O;I;J)$ . On définit une unité d'aire comme l'aire d'un rectangle unité du repère $(O;I;J)$ , c'est-à-dire l'aire d'un rectangle de longueurs $OI$ et $OJ$ . On la note $u.a.$ .
Soit $f$ une fontion continue et strictement positive sur un intervalle $\lbrack a\ ;\ b\rbrack$ .
Soit $\mathcal C_f$ sa représentation graphique.
L'aire de la surface délimitée par $\mathcal C_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est égale à

$\int_a^b f(x) dx\ \ \ \ u.a.$

integrale

III. Valeur moyenne d'une fonction

Définition :
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\lbrack a\ ;b\rbrack$ . La valeur moyenne de la fonction $f$ sur cet intervalle $\lbrack a\ ;b\rbrack$ est le réel défini par

$m=\dfrac{1}{b-a}\times \int_a^b f(x) dx$

Exemple :
La valeur moyenne de la fonction $f(x)=x^2$ sur $\lbrack 0\ ;2\rbrack$ est :

$m=\dfrac{1}{2-0}\times \int_0^2 x^2 dx=2$

On peut interpréter la moyenne d'une fonction $f$ sur $\lbrack a\ ;b\rbrack$ comme le réel tel que la surface hachurée soit égale à l'aire du rectangle de dimension $m$ et $b-a$ .

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I. Primitives

II. Intégrale

1. Généralités

2. Interprétation géométrique

III. Valeur moyenne d'une fonction

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