Intégration en Term ES

I. Primitives

Définition :
Soit ff une fonction définie sur un intervalle II. Un primitive de ff sur II est un fonction FF dérivable sur II telle que :

pour tout xI, F(x)=f(x)\textrm{pour tout }x\in I,\ F'(x)=f(x)

Exemple :

  • f(x)=1F(x)=xf(x)=1\longrightarrow F(x)=x
  • f(x)=2xF(x)=x2f(x)=2x\longrightarrow F(x)=x^2
  • f(x)=xF(x)=x22f(x)=x\longrightarrow F(x)=\dfrac{x^2}{2}

Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle II admet au moins une primitve sur II.

On range les primitives des fonctions dites "usuelles" dans un tableau :

fonction primitive
a, aRa,\ a\in\mathbb R axax
xx x22\dfrac{x^2}{2}
x2x^2 x33\dfrac{x^3}{3}
xnx^n xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
1x\dfrac{1}{\sqrt x} 2x2\sqrt x
1x2\dfrac{1}{x^2} 1x-\dfrac{1}{x}
1x\dfrac{1}{x} lnx\ln x

On peut aussi résumer les différentes formules de primitives, où uu et vv sont des fonctions quelconques :

fonction primitive
u+vu+v U+VU+V
k×f, kRk\times f,\ k\in\mathbb R k×Fk\times F
ueuu'e^u eue^u

Procédons à quelques exemples :

  • f1(x)=3+x3+x5F1(x)=3x+x44+x66f_1(x)=3+x^3+x^5\longrightarrow F_1(x)=3x+\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{x^6}{6}
  • f2(x)=3x+5x21xF2(x)=3x22+5x332xf_2(x)=3x+5x^2-\dfrac{1}{\sqrt x}\longrightarrow F_2(x)=\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{5x^3}{3}-2\sqrt x
  • f3(x)=2e2x+1F3(x)=e2x+1f_3(x)=2e^{2x+1}\longrightarrow F_3(x)=e^{2x+1}
  • f4(x)=5e3x+2F4(x)=53e3x+2f_4(x)=5e^{-3x+2}\longrightarrow F_4(x)=\dfrac{5}{3}e^{-3x+2}

Théorème :
Soit ff une fonction continue sur R\mathbb R et FF une de ses primitives.
Toutes les primitives de ff sont les fonctions GG définies par

G(x)=F(x)+k, kRG(x)=F(x)+k,\ k\in\mathbb R

On généralise ici la notion de primitive en montrant que, pour trouver toutes les primitives, il faut en trouver une.

Théorème :
Soit ff une fonction continue sur II, x0Ix_0\in I et y0y_0 un réel donné.
Il existe une unique primitive FF de la fonction ff sur II telle que F(x0)=y0F(x_0)=y_0

Exemple :
Soit f(x)=x+1f(x)=x+1.
Déterminer la primitive de ff qui s'annule en 11, c'est-à-dire F(1)=0F(1)=0.
D'après les formules du tableau précédent, on a

F(x)=x22+x+kF(x)=\dfrac{x^2}{2}+x+k

On résout F(1)=0F(1)=0 afin de déterminer la constante kk

F(1)=012+1+k=0k=32\begin{array}{ccc} F(1)=0 &\Longleftrightarrow&\dfrac{1}{2}+1+k=0 \\ &\Longleftrightarrow&k=\dfrac{3}{2} \\ \end{array}

Ainsi,

F(x)=x22+x32F(x)=\dfrac{x^2}{2}+x-\dfrac{3}{2}

II. Intégrale

1. Généralités

Définition :
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack. Soit FF une primitive de ff sur [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack.
L'intégrale de la fonction ff sur [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack, notée abf(x)dx\int_a^b f(x)dx, est le réel défini par

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)

Exemple :

12xdx=[x22]12=F(2)F(1)=20,5=1,5\int_1^2 xdx =\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^2=F(2)-F(1)=2-0{,}5=1{,}5

Propriété :
Soit ff une fonction définie sur R\mathbb R et FF une de ses primitives. La fonction GG définie par

G(x)=axf(t)dtG(x)=\int_a^x f(t)dt

est la primitive de ff qui s'annule en aa.

Démonstration :

G(x)=axf(t)dt=[F(t)]ax=F(x)F(a)G(x)=\int_a^x f(t)dt=\left[F(t)\right]_a^x=F(x)-F(a)

GG est la somme d'une primitive de ff et d'une constante (F(a))(F(a)). C'est donc une primitive de ff.
De plus, G(a)=F(a)F(a)=0G(a)=F(a)-F(a)=0.
Donc GG est la primitive de ff qui s'annule en aa.

Énonçons quelques propriétés de l'intégrale :

Propriété :
Soit ff et gg deux fonctions définies et continues sur un intervalle [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack.

  • aaf(x)dx=0\int_a^a f(x)dx=0

  • baf(x)dx=abf(x)dx\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx

  • Relation de Chasles :

abf(x)dx+bcf(x)dx=acf(x)dx\int_a^b f(x)dx+\int_b^c f(x)dx=\int_a^c f(x)dx

  • Linéarité de l'intégrale :

ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abf(x)dx\int_a^b (f(x)+g(x))dx=\int_a^b f(x)dx +\int_a^b f(x)dx

abk×f(x)dx=abf(x)dx\int_a^bk\times f(x)dx =\int_a^b f(x)dx

  • f(x)0    abf(x)dx0f(x)\geq 0 \iff \int_a^b f(x)dx \geq 0

  • f(x)0    abf(x)dx0f(x)\leq 0 \iff \int_a^b f(x)dx \leq 0

  • f(x)g(x)    abf(x)dxabg(x)dxf(x)\leq g(x)\iff \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx

2. Interprétation géométrique

Soit un repère orthogonal (O;I;J)(O;I;J). On définit une unité d'aire comme l'aire d'un rectangle unité du repère (O;I;J)(O;I;J), c'est-à-dire l'aire d'un rectangle de longueurs OIOI et OJOJ. On la note u.a.u.a..
Soit ff une fontion continue et strictement positive sur un intervalle [a ; b]\lbrack a\ ;\ b\rbrack.
Soit Cf\mathcal C_f sa représentation graphique.
L'aire de la surface délimitée par Cf\mathcal C_f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=ax=a et x=bx=b est égale à

abf(x)dx    u.a.\int_a^b f(x) dx\ \ \ \ u.a.

integrale

III. Valeur moyenne d'une fonction

Définition :
Soit ff une fonction continue sur un intervalle [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack. La valeur moyenne de la fonction ff sur cet intervalle [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack est le réel défini par

m=1ba×abf(x)dxm=\dfrac{1}{b-a}\times \int_a^b f(x) dx

Exemple :
La valeur moyenne de la fonction f(x)=x2f(x)=x^2 sur [0 ;2]\lbrack 0\ ;2\rbrack est :

m=120×02x2dx=2m=\dfrac{1}{2-0}\times \int_0^2 x^2 dx=2

On peut interpréter la moyenne d'une fonction ff sur [a ;b]\lbrack a\ ;b\rbrack comme le réel tel que la surface hachurée soit égale à l'aire du rectangle de dimension mm et bab-a.


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