Les probabilités en Term ES

I. Probabilités conditionnelles

1 Etude d'un exemple

Dans un lycée de $1\ 000$ élèves, $45%$ des élèves sont des filles.
Parmi les filles, $30%$ sont internes. $60%$ des garçons sont internes.
On peut (ou l'on doit) schématiser la situation par un arbre de probabilité :
probabilité-conditionnelle
On interroge un élève au hasard.

Quelle es la probabilité que l'élève soit une fille interne ?

$P(F\cap I)=0{,}45\times 0{,}3=0{,}135=13{,}5\%$

Sachant que l'élève est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit interne ?
On note cette probabiltié $P_F(I)$ .

$P_F(I)=0,3=30\%$

Quelle es la probabilité que l'élève soit un garçon interne ?

$P(G\cap I)=0{,}55\times 0{,}6=0{,}33=33\%$

Sachant que l'élève est un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit interne ?
On note cette probabiltié $P_F(I)$ .

$P_G(I)=0,6=30\%$

Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit interne ?
On peut avoir les cas suivants : " $I$ et $F$ " ou " $I$ et $G$ "
On cherche toutes les branches menant à $I$ dans l'arbre, et on additionne les probabilités :

$P(I)=P(F\cap I)+P(G\cap I)=0{,}45\times 0{,}3+0{,}55\times 0{,}6=0{,}465$

Remarque :

Dans notre exemple de $1\ 000$ élèves, il y a donc $465$ élèves internes.

On peut aussi présenter les données dans un tableau d'effectifs.

$P_F(I)$ est la notation de la probabilité d'être interne sachant que l'élève interrogé est une fille.

2. Probabilités conditionnelles

Défintion :
Soit $A$ et $B$ deux évènements avec $P(A)\neq 0$ . La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B)$ est la probabilité que l'évènement $B$ se réalise sachant que l'évènement $A$ l'est déjà.
Cette probabilité est définie par :

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

On résume souvent la définition dans l'arbre suivant, qu'il est important de connaître :
arbre-de-probabilités-conditionnelles
On rappelle que $\overline{A}$ représente l'évènement contraire de $A$ .

Propriété :

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$
$P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$

Dans l'exemple :
L'élève interrogé est un interne. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
En d'autres termes, on cherche $P_I(F)$ .
On ne peut pas lire cette probabilité sur l'arbre directement, il nous faut utiliser la propriété précédente.

$P_I(F)\times P(I)=P(F\cap I)=0{,}135\Rightarrow P_I(F)=\dfrac{0{,}135}{0{,}465}=\dfrac{9}{31}$

3. Probabilités totales

Définition :

Si deux évènements n'ont rien en commum, on dit qu'ils sont disjoints.
Faire une partition d'un ensemble total, c'est l'écrire comme une réunion d'élèments disjoints.

Par exemple :

L'ensemble des élèves peut s'écrire comme la réunion de $F$ et $G$ .
Droitiers et Gauchers forment aussi une partition des élèves.
"Elèves à lunettes" et "Elèves aux yeux bleus" ne forment pas une partition car les évènements ne sont pas disjoints (on peut avoir des lunettes et les yeux bleus).

Propriété des probabilités totales :
Considérons $\Omega$ l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire et $A_1,\ A_2,\ \ldots , A_n$ une partition de $\Omega$ .
La probabilité d'un évènement $B$ quelconque est donné par la formule des probabilités totales :

$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+\ldots+ P(B\cap A_n)$

Remarque :
C'esr cette formule que l'on a utilisé "naturellement" dans la question 5. du premier paragraphe.

II. Variables aléatoires

1. Rappels

Définition :
On considère l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire : $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$
Définir une variable aléatoire $X$ , c'est associer à chaque $x_i$ un réel.

Exemple :
On lance une pièce bien équilibrée et un dé non pipé. Voici les règles du jeu :

si on obtient Pile ou 1 ou 2, on gagne 1 € ;

si on obtient Face et 5 ou 6, on perd 3 € ;

sinon, on ne gagne ni ne perd rien.

On appelle $X$ le gain à l'issue d'un lancer. On définit alors une variable aléatoire. $X$ prend trois valeurs : $1$ , $-3$ , $0$ .

2. Loi de probabilité

Définition :
Soit $X$ une variable aléatoire dont les valeurs sont $x_1,\ x_2,\ \ldots,\ x_n$ .
Donner la loi de probabilité de $X$ , c'est donner pour chaque $x_i$ la probabilité $P(X=x_i)$

Reprenons l'exemple précédent
Les résultats possibles des tirages sont :

$(P,1)(P,2)(P,3)(P,4)(P,5)(P,6)$

$(F,1)(F,2)(F,3)(F,4)(F,5)(F,6)$

Il y en a $12$ .
Déterminons la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .

$(X=1)$ : on gagne $1$ € pour $(P,1)(P,2)(P,3)(P,4)(P,5)(P,6)(F,1)(F,2)$

$(X=-3)$ : on gagne $-3$ € pour $(F,5)(F,6)$

(X=0) : on gagne $0$ € pour $(F,3)(F,4)$

On a alors :

$P(X=1)=\dfrac{8}{12}$

$P(X=-3)=\dfrac{2}{12}$

$P(X=1)=\dfrac{2}{12}$

On présente souvent les données dans un tableau :

$x_i$ $-3$ $0$ $1$

$P(X=x_i)$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{1}{6}$ $\dfrac{4}{6}$

On remarque que :

$P(X=-3)+P(X=0)P(X=1)=1$

et cette remarque est toujours vraie.

3. Espérence mathématique

Définition :
L'espérence mathématique de la variable aléatoire $X$ est donnée par :

$E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+\ldots +x_n\times P(X=x_n)$

Dans l'exemple,

$E(X)=-3\times\dfrac{1}{6} + 0\times\dfrac{1}{6} +1\times\dfrac{4}{6}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}16$

Le gain moyen par partie est d'environ $0{,}16$ €.