Angles et parallélisme

I. Vocabulaire.

Prenons un temps pour définir le vocabulaire dont nous aurons besoin pour ce chapitre.

1. Angles alternes-internes.

Définition :
Deux droites $(d)$ et $(d')$ coupées par une sécante $(\Delta)$ définissent deux paires d’angles alternes-internes.

Remarque

alternes : ils sont situés de part et d’autre de la sécante $(\Delta)$ .
internes : ils sont situés entre les droites $(d)$ et $(d')$ .

2. Angles correspondants.

Définition :
Deux droites $(d)$ et $(d')$ coupées par une sécante $(\Delta)$ définissent 4 paires d’angles correspondants.

Remarque
Deux angles sont correspondants lorsque :

ils sont situés du même côté de la sécante $(\Delta)$ ,
un seul est situé entre les droites $(d)$ et $(d')$ .

3. Angles opposés par le sommet.

Définition :
Deux angles sont opposés par le sommet lorsque

ils ont le même sommet,
leurs côtés sont dans le prolongement l’un de l’autre.

Propriété n°1 :
Deux angles opposés par le sommet sont de même mesure.

Démonstration
Deux angles opposés par le sommet sont symétriques par rapport au sommet, ils sont donc de même mesure.

II. Angles et parallélisme.

1. Reconnaître des angles de même mesure.

Propriété n°2 :
Si deux droites sont parallèles et forment avec une même sécante des angles alternes-internes (ou correspondants), alors ces angles sont de même mesure.

Exemple :
Les angles rouge et bleu sont alternes-internes pour les droites $(d)$ et $(d')$ coupées par $(\Delta)$ .
$(d)$ et $(d')$ sont parallèles.
Donc d'après la propriété, les angles rouge et bleu sont de même mesure.

2. Reconnaître des droites parallèles.

Propriété n°3 :
Si deux droites sont forment avec une sécante des angles alternes-internes (ou correspondants) de même mesure, alors les droites sont parallèles.

Exemple
Les angles rouge et bleu sont de même mesure et sont correspondants.
Donc d'après la propriété, les droites $(d)$ et $(d')$ sont parallèles.

III. Sommes des mesures des angles d'un triangle.

1. Propriété générale.

Propriété n°4 :
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à $180°$ .

Démonstration
Considérons un triangle $ABC$ quelconque et traçons une droite parallèle à $(BC)$ , ici en rouge.

Les angles verts et rouges sont alternes-internes, et la droite rouge est parallèle à $(BC)$ .
D'après la propriété n°2, les angles verts sont de même mesure, ainsi que les angles rouges.
Comme nous le voyons sur la figure, les trois angles rouge, vert et bleu forment un angle plat, donc de mesure $180°$ .
Nous avons donc montré que la somme des mesures des trois angles du triangle $ABC$ est de $180°$ , et ce peut importe la nature du triangle $ABC$ .

2. Cas particulier : le triangle rectangle.

Propriété n°5 :
Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures de ses deux angles aigus est égale à $90°$ .

Démonstration
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ .

D'après la propriété n°4, on peut écrire :
$90+\widehat{ABC}+\widehat{ACB} = 180 \implies \widehat{ABC}+\widehat{ACB} = 180 - 90 = 90$

3. Cas particulier : le triangle rectangle isocèle.

Propriété n°6 :
Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses aigus mesure $45$ °.

Démonstration
Soit $ABC$ un triangle rectangle isocèle en $A$ .

$ABC$ est isocèle en $A$ , donc : $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$
On sait aussi d'après la propriété n°5 : $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90$ .
Donc $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45$

4. Cas particulier : le triangle équilatéral.

Propriété n°7 :
Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure $60°$

Démonstration
Soit $ABC$ un triangle équilatéral.

Les angles ont donc tous la même mesure, donc
$\widehat{ABC} = \widehat{ACB} = \widehat{BAC}$ .
D'après la propriété n°4 :
$\widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180$
Ce qui peut s'écrire de 3 manières :

$3\times\widehat{ABC} = 180 \implies \widehat{ABC} = \frac{180}{3} = 60$

$3\times\widehat{ACB} = 180 \implies \widehat{ACB} = \frac{180}{3} = 60$

$3\times\widehat{BAC} = 180 \implies \widehat{BAC} = \frac{180}{3} = 60$