Les fractions en 5ème

I. Sens de l'écriture fractionnaire

1. Expression d'une proportion

Exemple :

Quatre septièmes des élèves du collège sont externes.
On dit que la proportion des élèves externes est $\dfrac{4}{7}$. Cela signifie que, sur $7$ élèves, $4$ sont externes.

Remarque :

On peut écrire : $\dfrac{4}{7}=4\times \dfrac{1}{7}$

2. Expression d'un quotient

Définition :

Soient $a$ et $b$ deux nombres quelconques, avec $b$ non égal à $0$. Le quotient de $a$ par $b$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$.
Ce quotient se note :

• $a÷b$ en écriture "décimale"
• $\dfrac{a}{b}$ en écriture fractionnaire

Exemple :

• $\dfrac{22}{4}=22/4=5,5$
• $\dfrac{10}{0,5}=20$ car $20\times 0,5=1$

Remarques :

Si le numérateur et le dénominateur d’une écriture fractionnaire sont entiers, alors on parlera de fractions.

• $\dfrac{22}{4}$ est une fraction, mais $\dfrac{10}{0,5}$ est une écriture fractionnaire (car $0,5$ n'est pas un nombre entier).
• Certains quotients n’admettent pas d’écriture décimale : $\dfrac{2}{3}=2/3$, mais 2/3 n'est pas égal à 0,6666667 il approche 0,6666667.

II. Égalité de fractions.

1. Propriété des quotients.

Propriété importante :

Un quotient ne change pas lorsque l’on multiplie où l’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Si $b≠0$ et $k≠0$, alors
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}$ et $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a/k}{b/k}$

Exemple :

$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1*5}{2*5}=\dfrac{5}{10}$

$\dfrac{12}{8}=\dfrac{12/4}{8/4}=\dfrac{3}{2}$

2. Simplification de fractions.

Simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui égale, mais avec un numérateur et un dénominateur plus petit.
C’est donc, diviser son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier non nul.

Exemple :

$\dfrac{21}{35}=\dfrac{21/7}{35/7}=\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{42}{28}=\dfrac{42/2}{28/2}=\dfrac{21}{14}$

3. Division par un décimal.

Règle :

Pour diviser deux nombres décimaux, on rend entier son diviseur, ou dénominateur, en le multipliant par 10, 100 ou 1000 ; on doit donc multiplier son dividende, donc numérateur par 10, 100 ou 1000, comme nous le dit la propriété importante précédente.

Exemple :

• $24/0,8=\frac{24}{0,8}=\frac{24\times 10}{0,8\times 10}=\frac{240}{8}=30$

• $0,365/0,05=\frac{0,365}{0,05}=\frac{0,365\times 100}{0,05\times 100}=\frac{36,5}{5}=7,3$

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