Les triangles en 5ème
I. Inégalité triangulaire
1. Généralités
Propriété :
Dans un triangle, la somme des deux plus petites longueurs est supérieure à la plus grande.
Plus généralement, dans un triangle, chaque longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs.
Exemple :
Dans ce triangle, on peut écrire les inégalités suivantes :
Remarque :
La première inégalité de l'exemple précédent porte de le nom d'inégalité triangulaire. Elle est la condition fondamentale pour qu'un triangle soit constructible.
2. Triangle constructible.
Propriété :
Un triangle est constructible si la plus grande longueur est inférieure à la somme des deux autres longueurs.
Autrement dit, un triangle est constructible si l'inégalité triangulaire est vérifiée.
Exemple :
- Le triangle suivant est constructible :
cm ; cm ; cm ;
car- Le triangle suivant n'est pas constructible :
cm ; cm ; cm ;
car- Le triangle suivant est contructible :
cm ; cm ; cm ;
mais on remarque que !
Dans cette configuration le point appartient au segment (on pourra écrire ). On dit que le triangle est un triangle plat.
Nous avons maintenant une condition pour qu'un triangle soit constructible. Vous pourrez donc à partir de maintant vérifier cette condition avant de vous lancer dans une construction que vous n'êtes pas sûr de pouvoir terminer.
II. Droites remarquables d'un triangle.
1. Médiatrices.
Définition :
La médiatrice d'un segment est une droite coupant perpendiculairement le segment en son milieu.
Propriété :
- Chaque point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.
- Si un point est équidistant des extrémités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice.
Remarque :
- Le mot “équidistant” signifie “à égale distance”.
- Dans un triangle, il y a trois côtés : il y a donc trois médiatrices dans un triangle.
Exemple :
- Le point de la figure précédente appartient à la médiatrice du segment . Il est donc équidistant des points et et on peut écrire :
- Si l'on rajoute un point sur la figure, et on précise que , alors il n'aura pas d'autre choix que d'appartenir à la médiatrice du segment .
Voici une figure qui résume les différentes médiatrices d'un triangle.
Propriété :
Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point : on dit qu'elles sont concourantes.
Le point de concours des médiatrices (ici noté ), est le centre du cercle passant pas les sommets du triangle . Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle .
2. Hauteurs.
Définition :
Une hauteur d'un triangle est une droite perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé à ce segment.
Remarque :
- Dans un triangle, il y a trois côtés : il y aura donc trois hauteurs. La droite (verte) s'appelle la hauteur issue du sommet B et s'appelle le pied de la hauteur .
Propriété :
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point : on l'appelle l'orthocentre du triangle.
Il existe plusieurs propriétés concernant l'orthocentre d'un triangle, mais elles restent hors programme du collège.
3. Médianes.
Définition :
Une médiane d'un triangle est une droite passant par le milieu d'un côté du triangle et par le sommet opposé à ce côté.
Remarques :
- Remarquons que, comme précédemment, il y a trois médianes dans un triangle.
Propriété :
- Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un seul point : ce point s'appelle le centre de gravité du triangle. C'est en quelque sorte le point d'équilibre du triangle.
4. Bissectrices.
Définition :
La bissectrice d'un angle est une demi-droite qui partage l'angle en deux angles de même mesure.
Remarque :
- Tout comme précedemment, il y a trois bissectrices dans un triangle, car il y a trois angles.
Propriété :
Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes en un seul point : c'est le centre du cercle inscrit au triangle, c'est-à-dire du cercle tangent aux côtés du triangle.
III. Propriété des angles d'un triangle.
Propriété :
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Remarques :
Cette propriété est très importante et très utilsée dans les exercices. Nous ne passerons pas plus de temps sur cette propriété qui a déjà été citée et démontrée dans le cours Angles et parallélisme
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