Calculer l'aire ou la surface d'un disque

Vous avez un calcul d'aire de disque à réaliser ?
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Dans cette fiche-méthode, vous trouverez les formules de calcul d'aire d'un disque, d'un demi-disque, d'un secteur de disque, d'un segment de disque et d'un disque creux.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement l'aire (également appelée surface) d'un disque ?

Toutes les réponses à vos questions sont là.

Propriétés du disque

La surface délimitée par un cercle de rayon $r$ correspond à l’aire $A$ du disque de rayon $r$.

Le disque est caractérisé par :

• son centre $O$
• son rayon $r$
• son diamètre $D$

Différence entre cercle et disque

Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?

Sur l'illustration ci-dessus, la différence est bien visible.

Un cercle est une courbe (en rouge) fermée constituée des points situés à égale distance (le rayon $r$) d'un point nommé centre ($O$).

Un disque est une figure géométrique dans un plan constituée de tous les points situés à une distance égale ou inférieure au rayon $r$ du centre $O$.

Peut-on calculer l'aire d'un cercle ?

Le cercle étant une courbe et non une figure géométrique, il n'est pas possible d'en calculer l'aire (également appelée la surface).

On calcule par contre le périmètre d'un cercle (soit la longueur de la courbe de ce cercle) également appelée circonférence du cercle (cf. cours sur le calcul du périmètre du cercle.

Formule calcul aire cercle

Avec le rayon r

Pour calculer l'aire $A$ d'un disque également appelée surface d'un cercle, exprimée en $cm^3$, la formule est la suivante :

Par exemple, si l'on vous demande de calculer l'aire $A$ d'un disque de rayon $5$cm, on applique la formule :
$Aire_{disque} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 5^2 = \boxed{78{,}5 cm^2}$

Avec le diamètre D

Pour calculer l'aire $A$ d'un cercle ou surface d'un cercle, exprimée en $cm^2$, la formule est la suivante :

Dans le cas où l'énoncé vous demande de calculer l'aire $A$ d'un disque de diamètre $8$cm, vous pouvez :

• D'abord calculer le rayon $r$ du cercle ($D/2$ soit $4cm$ dans le cas de notre exemple) puis appliquer la formule précédente de calcul de la surface du disque avec le rayon
• Soit appliquer directement la formule avec le diamètre $D$

Ici, $Aire_{disque}= \dfrac{\pi D^2}{4} = \dfrac{3{,14} \times 8^2}{4} = \dfrac{3{,}14 \times 64}{4} = \dfrac{200{,}6}{4}=\boxed{50{,}24cm^2}$

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

Si vous avez déjà calculé le périmètre de votre cercle $C$ dans une question précédente et que vous souhaitez directement en calculer l'aire, on a :

Par exemple, si l'on vous demande d'abord de calculer le périmètre ou la circonférence $P$ d'un cercle de rayon $5$cm.

$P_{cercle} = 2 \times \pi 5 = 2 \times 3{,}14 5 = \boxed{31{,}4cm}$

La question suivante vous demande d'en calculer l'aire, vous pouvez directement appliquer la formule du dessus :

$A_{cercle} = \dfrac{P \times r}{2} = \dfrac{31{,}4 \times 5}{2} = \dfrac{157}{2} = \boxed{78{,}5cm^2}$

On rappelle que pour calculer le périmètre ou la circonférence d'un cercle, on utilise la formule suivante :

Démonstration

Pour mieux comprendre la formule utilisée ci-dessus, voici la démonstration du lien entre périmètre ou circonférence du cercle et aire du disque.

On a :

$P_{cercle}= 2\pi r$
et
$Aire_{disque}= \pi r^2$

On va chercher à faire apparaître $P$, pour ce faire on va multiplier et diviser par le facteur $2$.

$Aire_{disque}= \pi r^2 = \dfrac{ 2 \pi r^2}{2}= \dfrac{2 \pi r \times r}{2}$

On retrouve donc bien la formule précédente :

$\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{P_{cercle} \times r}{2}}$

Formule calcul aire demi-cercle

Le disque et le demi-disque partagent le même centre $C$, le même rayon $r$ et le même diamètre $D$.

Par conséquent, pour calculer l'aire d'un demi-cercle ou la surface d'un demi-disque, il suffit de diviser par $2$ l'aire du disque correspondant.

Si vous souhaitez directement calculer l'aire du demi-disque ou du demi-cercle, il existe 3 formules pour ce faire : une avec le rayon,l'autre avec le diamètre et la dernière avec le périmètre ou la circonférence du cercle.

Avec le rayon r

Avec le diamètre D

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

Formule calcul aire secteur de disque ou disque tronqué

Pour calculer l'aire d'un secteur de disque (en vert sur le schéma), ou portion de disque, c'est la formule suivante qu'il convient d'appliquer :

Formule calcul aire segment de disque

Pour calculer l'aire ou la surface d'un segment de disque (en bleu sur l'illustration)- on utilise la formule suivante :

Avec $\alpha =60$° et $r=10$cm, l'aire du segment de disque correspondant est donc de :

$A_{segmentdisque}= \dfrac{(\pi \times 60 \times 10^2)}{360} - \dfrac{10^2 \sin{60}}{2}= \dfrac{3{,}14 \times 60 \times 100}{360} - \dfrac{100 \times 0{,}866}{2}$

$= \dfrac{314 \times 60}{360} - \dfrac{86{,}6}{2} = \dfrac{18840}{360}- 43{,}3 \approx 52{,}33 - 43{,}3 \approx 9{,}03 cm^2$

Formule calcul aire disque creux ou couronne circulaire

Pour calculer l'aire du disque creux ou de la couronne circulaire (en jaune sur le dessin), il suffit de soustraire l'aire du grand disque à la surface du petit disque soit :

Il existe donc deux formules qui résultent de ce calcul.

Avec le rayon r

Avec le diamètre D

Calculateurs gratuits d'aire de cercle

Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul de l'aire d'un disque.

Vous n'avez pas envie de faire les calculs vous-même ?
Ou vous voulez vérifier les résultats de vos exercices ou DM ?

Voici deux outils qui vous serviront à calculer automatiquement (et gratuitement) l'aire ou la surface d'un cercle.

Il vous suffira pour cela de rentrer la valeur de son rayon $r$.

• Calcul de l'aire d'un cercle avec Calculer.com

• Calculer automatiquement l'aire d'un disque avec Calculette.net

Exercices complémentaires

• Calcul de l'aire d'un disque
• Calculer l'aire d'un secteur circulaire
• Fonctions et calcul d'aires de demi-cercles