Calculer l'aire ou la surface d'un disque

Vous avez un calcul d'aire de disque à réaliser ?
Utilisez nos calculateurs gratuits et rapides pour un résultat immédiat ou pour vérifier vos réponses.

Dans cette fiche-méthode, vous trouverez les formules de calcul d'aire d'un disque, d'un demi-disque, d'un secteur de disque, d'un segment de disque et d'un disque creux.

Alors, comment faire pour calculer rapidement et facilement l'aire (également appelée surface) d'un disque ?

Toutes les réponses à vos questions sont là.

Propriétés du disque

La surface délimitée par un cercle de rayon rr correspond à l’aire AA du disque de rayon rr.

Le disque est caractérisé par :

  • son centre OO
  • son rayon rr
  • son diamètre DD

Différence entre cercle et disque

diffence_cercle_disque

Quelle est la différence entre un cercle et un disque ?

Sur l'illustration ci-dessus, la différence est bien visible.

Un cercle est une courbe (en rouge) fermée constituée des points situés à égale distance (le rayon rr) d'un point nommé centre (OO).

Un disque est une figure géométrique dans un plan constituée de tous les points situés à une distance égale ou inférieure au rayon rr du centre OO.

Peut-on calculer l'aire d'un cercle ?

Le cercle étant une courbe et non une figure géométrique, il n'est pas possible d'en calculer l'aire (également appelée la surface).

On calcule par contre le périmètre d'un cercle (soit la longueur de la courbe de ce cercle) également appelée circonférence du cercle (cf. cours sur le calcul du périmètre du cercle.

En mathématiques, on dit que l'on calcule l'aire ou la surface d'un disque. Elle est généralement exprimée en cm2cm^2.

NB : On parle par contre de périmètre ou circonférence d'un cercle, exprimée en cm.

Formule calcul aire cercle

Avec le rayon r

Pour calculer l'aire AA d'un disque également appelée surface d'un cercle, exprimée en cm3cm^3, la formule est la suivante :

Airedisque=πr2\boxed{Aire_{disque}= \pi r^2}

avec :

  • rr= rayon du cercle en cm
  • π=3,14\pi = 3{,}14

Par exemple, si l'on vous demande de calculer l'aire AA d'un disque de rayon 55cm, on applique la formule :
Airedisque=πr2=3,14×52=78,5cm2Aire_{disque} = \pi r^2 = 3{,}14 \times 5^2 = \boxed{78{,}5 cm^2}

Avec le diamètre D

Pour calculer l'aire AA d'un cercle ou surface d'un cercle, exprimée en cm2cm^2, la formule est la suivante :

Airedisque=πD24\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{\pi D^2}{4}}

avec :

  • DD= diamètre du cercle en cm
  • π=3,14\pi = 3{,}14
  • AA = aire exprimée en cm3cm^3

Dans le cas où l'énoncé vous demande de calculer l'aire AA d'un disque de diamètre 88cm, vous pouvez :

  • D'abord calculer le rayon rr du cercle (D/2D/2 soit 4cm4cm dans le cas de notre exemple) puis appliquer la formule précédente de calcul de la surface du disque avec le rayon
  • Soit appliquer directement la formule avec le diamètre DD

Ici, Airedisque=πD24=3,14×824=3,14×644=200,64=50,24cm2Aire_{disque}= \dfrac{\pi D^2}{4} = \dfrac{3{,14} \times 8^2}{4} = \dfrac{3{,}14 \times 64}{4} = \dfrac{200{,}6}{4}=\boxed{50{,}24cm^2}

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

Si vous avez déjà calculé le périmètre de votre cercle CC dans une question précédente et que vous souhaitez directement en calculer l'aire, on a :

Airedisque=P×r2\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{P \times r}{2}}

avec :

  • AA= aire du disque en cm2cm^2
  • PP = le périmètre ou la circonférence du cercle en cm
  • rr = le rayon du cercle en cm

Par exemple, si l'on vous demande d'abord de calculer le périmètre ou la circonférence PP d'un cercle de rayon 55cm.

Pcercle=2×π5=2×3,145=31,4cmP_{cercle} = 2 \times \pi 5 = 2 \times 3{,}14 5 = \boxed{31{,}4cm}

La question suivante vous demande d'en calculer l'aire, vous pouvez directement appliquer la formule du dessus :

Acercle=P×r2=31,4×52=1572=78,5cm2A_{cercle} = \dfrac{P \times r}{2} = \dfrac{31{,}4 \times 5}{2} = \dfrac{157}{2} = \boxed{78{,}5cm^2}


On rappelle que pour calculer le périmètre ou la circonférence d'un cercle, on utilise la formule suivante :

Pcercle=2πr\boxed{P_{cercle}= 2\pi r }

(Petite astuce mnémotechnique : deux pi-erres)

avec :

  • PP = périmètre (ou circonférence) du cercle
  • rr = rayon du cercle
  • π=3,14\pi= 3{,}14

Démonstration

Pour mieux comprendre la formule utilisée ci-dessus, voici la démonstration du lien entre périmètre ou circonférence du cercle et aire du disque.

On a :

Pcercle=2πrP_{cercle}= 2\pi r
et
Airedisque=πr2Aire_{disque}= \pi r^2

On va chercher à faire apparaître PP, pour ce faire on va multiplier et diviser par le facteur 22.

Airedisque=πr2=2πr22=2πr×r2Aire_{disque}= \pi r^2 = \dfrac{ 2 \pi r^2}{2}= \dfrac{2 \pi r \times r}{2}

On retrouve donc bien la formule précédente :

Airedisque=Pcercle×r2\boxed{Aire_{disque}= \dfrac{P_{cercle} \times r}{2}}

Formule calcul aire demi-cercle

disque_demi_disque_aire

Le disque et le demi-disque partagent le même centre CC, le même rayon rr et le même diamètre DD.

Par conséquent, pour calculer l'aire d'un demi-cercle ou la surface d'un demi-disque, il suffit de diviser par 22 l'aire du disque correspondant.

Ademidisque=Adisque2A_{demi-disque} = \dfrac{A_{disque}}{2}

Si vous souhaitez directement calculer l'aire du demi-disque ou du demi-cercle, il existe 3 formules pour ce faire : une avec le rayon,l'autre avec le diamètre et la dernière avec le périmètre ou la circonférence du cercle.

Avec le rayon r

Airedemidisque=πr22\boxed{Aire_{demi-disque}= \dfrac{ \pi r^2}{2}}

avec :

  • rr= rayon du cercle en cm
  • π=3,14\pi = 3{,}14
  • AA = aire en cm2cm^2

Avec le diamètre D

Airedemidisque=πD242=πD24×12=πD28Aire_{demi-disque}= \dfrac{\dfrac{\pi D^2}{4}}{2} = \dfrac{\pi D^2}{4} \times \dfrac{1}{2} = \boxed{\dfrac{\pi D^2}{8}}

avec :

  • DD= diamètre du cercle en cm
  • π=3,14\pi = 3{,}14
  • AA = aire exprimée en cm3cm^3

Avec le périmètre ou la circonférence du cercle

Airedemidisque=P×r22=P×r2×12=Pr4Aire_{demi-disque}= \dfrac{\dfrac{P \times r}{2}}{2}=\dfrac{P \times r}{2} \times \dfrac{1}{2} = \boxed{\dfrac{P r}{4}}

avec :

  • AA= aire en cm2cm^2
  • PP = le périmètre ou la circonférence du cercle en cm
  • rr = le rayon du cercle en cm

Formule calcul aire secteur de disque ou disque tronqué

secteur_disque_surface_calcul

Pour calculer l'aire d'un secteur de disque (en vert sur le schéma), ou portion de disque, c'est la formule suivante qu'il convient d'appliquer :

Asecteurdisque=π×α×r2360\boxed{A_{secteurdisque}= \dfrac{ \pi \times \alpha \times r^2}{360}}
avec :

  • A = aire en cm2cm^2
  • rr = rayon en cm
  • α\alpha = mesure de l'angle en degré

Formule calcul aire segment de disque

segment_disque_calcul_aire

Pour calculer l'aire ou la surface d'un segment de disque (en bleu sur l'illustration)- on utilise la formule suivante :

Asegmentdisque=(π×α×r2)360r2sinα2A_{segmentdisque}= \dfrac{(\pi \times \alpha \times r^2)}{360} - \dfrac{r^2 \sin{\alpha}}{2}

avec :

  • A = aire en cm2cm^2
  • rr = rayon en cm
  • α\alpha = mesure de l'angle en degré

Avec α=60\alpha =60° et r=10r=10cm, l'aire du segment de disque correspondant est donc de :

Asegmentdisque=(π×60×102)360102sin602=3,14×60×100360100×0,8662A_{segmentdisque}= \dfrac{(\pi \times 60 \times 10^2)}{360} - \dfrac{10^2 \sin{60}}{2}= \dfrac{3{,}14 \times 60 \times 100}{360} - \dfrac{100 \times 0{,}866}{2}

=314×6036086,62=1884036043,352,3343,39,03cm2= \dfrac{314 \times 60}{360} - \dfrac{86{,}6}{2} = \dfrac{18840}{360}- 43{,}3 \approx 52{,}33 - 43{,}3 \approx 9{,}03 cm^2

Formule calcul aire disque creux ou couronne circulaire

couronne circulaire disque creux calcul aire

Pour calculer l'aire du disque creux ou de la couronne circulaire (en jaune sur le dessin), il suffit de soustraire l'aire du grand disque à la surface du petit disque soit :

Acouronnecirculaire=AgranddisqueApetitdisqueA_{couronnecirculaire} =A_{granddisque}-A_{petitdisque}

Il existe donc deux formules qui résultent de ce calcul.

Avec le rayon r

Acouronnecirculaire=π(R2r2)\boxed{A_{couronnecirculaire}= \pi (R^2 - r^2)}

avec :

  • AA = aire en cm2cm^2
  • RR = rayon du plus grand disque en cm
  • rr = rayon du plus petit disque en cm

Avec le diamètre D

Acouronnecirculaire=π4(D2d2)\boxed{A_{couronnecirculaire}= \dfrac{\pi}{4} (D^2 - d^2)}

avec :

  • AA = aire en cm2cm^2
  • DD = diamètre du plus grand disque en cm
  • dd = diamètre du plus petit disque en cm

Calculateurs gratuits d'aire de cercle

Cette fiche détaille toutes les modalités de calcul de l'aire d'un disque.

Vous n'avez pas envie de faire les calculs vous-même ?
Ou vous voulez vérifier les résultats de vos exercices ou DM ?

Voici deux outils qui vous serviront à calculer automatiquement (et gratuitement) l'aire ou la surface d'un cercle.

Il vous suffira pour cela de rentrer la valeur de son rayon rr.

Exercices complémentaires


Posez vos questions

D'autres interrogations sur ce cours ? Démarrez une discussion et obtenez des réponses à des exercices pratiques.

Accéder au forum