Equations différentielles

Les équations différentielles sont pour vous quelque chose d'un peu mystique et incompréhensible ? Pas de panique, nous vous avons préparé un cours complet sur ces mystérieuses équations différentielles/fonctionnelles. Il vous aidera à y voir plus clair et à ne plus en avoir peur :)

I. Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Une équation différentielle (ou équation fonctionnelle) est une équation dont l'inconnue est une fonction. On note généralement $y$ la fonction recherchée, $y'$,$y''$,...,$y_{(n)}$ ses dérivées successives.

Par exemple l'équation $\sin{(2y \times y')}= \dfrac{2}{y''}$ d'inconnue $y: \mathbb{R}^* \rightarrow \mathbb{R}$ deux fois dérivables est une équation différentielle du second ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de $y$).

Ses solutions sont toutes les fonctions qui vérifient :

$\sin{(2y(x) \times y'(x))}= \dfrac{2}{y''(x)}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^*$

Cette équation est sans doute parfaitement impossible à résoudre, mais rien n'empêche de la poser.

II. A quoi ça servent les équations différentielles ?

Pour une fois que les mathématiques servent à quelque chose on va pas se priver de le dire.

Les équations différentielles servent principalement en physique. Ou plutôt la physique est fondée sur des équations différentielles.

D'ailleurs celui qui a découvert, formalisé et résolu les premières de ces équations s'appelle Isaac Newton.

L'oscillation d'un pendule, d'un ressort ou de la corde d'un violon est solution d'une équation différentielle. Dès qu'on étudie des circuits électriques d'une maison ou d'un appareil, on résout des équations différentielles ... etc.

Bref vous verrez tout le temps des équations différentielles en physique et malheureusement les professeurs de physiques ne sont pas toujours très doués pour les expliquer.

III. Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre (ça en jette hein ?)

Il s'agit des équations différentielles les plus simples. Elles se présentent sous la forme :

$y'+ay=0$
avec $a \in \mathbb{R}$, d'inconnue $y: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

Ces équations différentielles sont dites linéaires car elles ne font intervenir que des additions entre les $y$ d'ordres différents et les différents $y$ ne sont que multipliés (pas de
$\sin{(y')}$ ou de $y^2$).

premier ordre car on ne dérive pas plus d'une fois.

A coefficients constants car on multiplie les $y$ que par des réels (on ne les multiplie pas par des polynômes par exemple).

Sans second membre car $"...=0"$. On verra après avec $"...=b"$ où $b \in \mathbb {R}$

Proposition :

Soient $a$ un réel et $y$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.

Les solutions de l'équation $y'+ay=0$, c'est à dire de l'équation $y'=-ay$ sont exactement les fonctions de la forme $x \rightarrow \lambda e^{-ax}$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$

Démonstration :

• Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ quelconque, en posant pour tout $x \in \mathbb{R}$

$y(x) = \lambda e^{-ax}$

Alors $y$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme fonction exponentielle (toujours le préciser en math, jamais en physique) avec pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$y'(x) = -a \lambda e^{-ax}$

$y'(x) = -ay(x)$

$y'(x)+ay(x) = 0$

Donc les fonctions de la forme $x \rightarrow \lambda e^{-ax}$ sont bien solutions de notre équation différentielle.

Maintenant on va montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions que celles-ci. Pour cela on va poser une fonction, supposer qu'elle est solution et montrer qu'alors elle est de la forme $x \rightarrow \lambda e^{-ax}$.

Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ solution de $y'+ay=0$.

Soit $\varphi$ la fonction définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par :

$\varphi(x) = \dfrac{g(x)}{e^{-ax}}$

donc

$\varphi(x) = g(x)e^{ax}$

$\varphi(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions qui le sont avec pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

$\varphi'(x) = g'(x)e^{ax}+ag(x)e^{ax}$

$\varphi'(x) = e^{ax}(g'(x)+ag(x))$

Mais comme $g$ est solution de $y'+ay=0$ on a $g'(x)+ag'(x)=0$ donc $\varphi'(x) = 0$.

Donc $\varphi$ est une fonction constante. On pose alors $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\varphi(x)= \lambda$.

Maintenant, en revenant à la définition de $\varphi$, on a :

$\varphi(x) = \dfrac{g(x)}{e^{-ax}}$

$\lambda(x) = \dfrac{g(x)}{e^{-ax}}$

$g(x) = \lambda e^{-ax}$

Et nous voila bien retombé sur une fonction de la bonne forme. $y'+ay=0$ n'admet donc pas d'autres solutions que celle de la forme $x \rightarrow \lambda e^{-ax}$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$.

IV. Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre :

Il s'agit des équations différentielles de la forme $y'+ay=b$ avec $a$ et $b$ des réels.

Pour les résoudre on a besoin d'un petit théorème qui s'énonce ainsi.

Théorème :

Démonstration (pour des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants) :

Note :

Je pensais aborder les équations différentielles du second ordre, celle du premier ordre à coefficients non constant et les problèmes de Cauchy mais ça ferait un peu trop long pour une fiche. D'autant que ces équations différentielles ne sont pas au programme de terminale.

S'ils vous donnent une équation du second ordre, ils vous en donneront la solution et vous demanderont de vérifier qu'elle est bien solution. Ils ont même de bonne chances de le faire aussi pour une équation du premier ordre.

Tout de même pour la culture, un problème de Cauchy (du premier ordre) est un système comme suit :

$\begin{cases} y'+ay=b\\ y(c)=d\\ \end{cases}$

$a$ et $b$ peuvent être des réels ou des fonctions, $c$ et $d$ sont des réels.

Un tel système admet une et une seule fonction pour solution. En physique, la deuxième équation est généralement obtenue grâce aux conditions initiales.

Par S321

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