Résolutions graphiques dans un repère du plan carthésien

Objectifs

Les nouveaux bacs sont de plus en plus axés sur des résolutions graphiques : lecture du coefficient directeur d'une tangente, résolution d'équation etc.
Ce fichier a été écrit dans le but d'aider les élèves de terminale dans ce genre de questions.

Plan de cours

1 - Lecture d'images

2 - Lecture d'antécédents

3 - Résolution d'équations

4 - Résolution d'inéquations

5 - Tableau de variations

6 - Tableau de signes

7 - Lecture du coefficient directeur d'une droite

8 - Autour de la dérivée

Cours

Avant-propos :

On trouvera dans ce fichier la plupart des techniques de lecture graphiques devant être maîtrisées en analyse. Aucune théorie n'est faite, seuls des exemples sont présentés ainsi que leur correction. Ils feront donc référence pour vous aider dans les exercices.

Ce fichier a été conçu avec l'idée suivante : vous vous trouvez en classe ou chez vous devant une difficulté relevant de la lecture graphique d'une fonction.

Vous ouvrez ce fichier au plan de cours (table des matières) et consultez la section qui vous concerne. Là vous analysez les exemples données pour que vous soyez enfin inspirés pour votre exercice.

L'ordre des exemples a été choisi par difficulté croissante. Ainsi pour comprendre une partie, il est souvent utile de lire la précédente (voir toutes les précédentes!!!).

Important :
On rappelle par ailleurs, que dans l'écriture de $f(x)$, le nombre $x$ s'appelle antécédent, et le nombre $f(x)$ est l'image du nombre $x$. Graphiquement $x$ représente l'abscisse d'un point et $f(x)$ son ordonnée. Tous les exemples qui suivent se basent sur cette idée.

1- Lecture d'images

Enoncé

Correction

• 1) Trouver l'image de $-2$ par $g$.

Pour trouver l'image de $-2$, on se place sur l'axe des abscisses sur le nombre $-2$, on remonte (en pointillés) jusqu'à toucher la courbe.

A ce moment-là, on part à l'horizontale (toujours en pointillés) jusqu'à l'axe des ordonnées. L'image de $-2$ à savoir $g(-2)$, se lit alors sur l'axe des ordonnées.

On a donc : $\boxed{g(-2) = 3}$

• 2) Combien vaut $g(0)$?.

Pour trouver $g(0)$, on se place sur l'axe des abscisses sur le nombre $0$, (à l'origine du repère en fait), on remonte jusqu'à toucher la courbe. On est déjà sur l'axe des ordonnées, il ne reste qu'à regarder où on s'y trouve.

On a donc : $\boxed{g(0)=1}$ , ou formulé autrement : "L'image de $0$ par $g$ est égale à $1$".

• 3) Trouver l'image de $4$.
  

Pour trouver l'image de $4$, on se place sur l'axe des abscisses sur le nombre $4$, on remonte (en pointillés) jusqu'à toucher la courbe...

Mais on ne voit plus la courbe. On ne peut donc pas répondre, car la courbe peut se trouver à peu près n'importe où hors du repère visible.

Il n'y a pas de réponse.

• 4) Trouver l'image de $1$.

Pour trouver l'image de $1$, on se place sur l'axe des abscisses sur le nombre $1$, on descend (en pointillés) jusqu'à toucher la courbe.

A ce moment-là, on part à l'horizontale (toujours en pointillés) jusqu'à l'axe des ordonnées. L'image de $1$ à savoir $g(1)$, se lit alors sur l'axe des ordonnées.

On a donc : $\boxed{g(1)=-1{,}4}$

2- Lecture d'antécédents

Enoncé

Correction

• 1) Trouver le(s) antécédent(s) de $-2$ par $f$.

On cherche ici les nombres $x$ tels que $f(x) =-2$. C'est-à-dire que l'on cherche l'abscisse (car on cherche un $x$) d'un point qui se trouve à la hauteur $-2$ de la courbe.

Pour cela, on trace une droite horizontale à la hauteur $-2$ (la droite d'équation $y=-2$ en fait). Là où cette droite coupe la courbe, on remonte vers l'axe des abscisses. On lit alors la valeur de l'antécédent de $-2$.

On a donc uniquement $4{,}5$ qui est l'antécédent de $-2$ par $f$. En d'autres termes : $\boxed{f(4{,}5) =-2}$

• 2) Trouver le(s) antécédent(s) de $1$ par $f$.

On cherche ici les nombres $x$ tels que $f(x) =1$. C'est-à-dire que l'on cherche l'abscisse (car on cherche un $x$) d'un point qui se trouve à la hauteur $1$ de la courbe.

Pour cela, on trace une droite horizontale à la hauteur $1$ (la droite d'équation $y=1$ en fait). Là où cette droite coupe la courbe, on redescend vers l'axe des abscisses. On lit alors la valeur des antécédents de $1$.

On voit donc que $1$ possède 2 antécédents : $-3{,}7$ et ${2{,}6}$

• 3) Trouver le(s) antécédent(s) de $0$ par $f$.
  

On cherche ici les nombres $x$ tels que $f(x) = 0$. C'est-à-dire que l'on cherche l'abscisse (car on cherche un $x$) d'un point qui se trouve à la hauteur $0$ de la courbe.

On cherche donc les points qui sont à la fois sur la courbe et sur l'axe des abscisses. Pas besoin donc de tracer de droite ici.

On voit donc que $0$ possède 2 antécédents : $-4{,}4$ et ${3{,}3}$

• 4) Trouver le(s) antécédent(s) de $3{,}5$ par $f$.

On cherche ici les nombres $x$ tels que $f(x) = 3{,}5$. C'est-à-dire que l'on cherche l'abscisse (car on cherche un $x$) d'un point qui se trouve à la hauteur $3{,}5$ de la courbe.

Pour cela, on trace une droite horizontale à la hauteur $3{,}5$ (la droite d'équation $y=3{,}5$ en fait). Et ici on voit qu'elle ne coupe jamais la courbe de $f$. On ne peut donc pas trouver d'antécédent à $3{,}5$ dans l'intervalle $[-5;5]$.

Dans l'intervalle $[-5;5]$, le nombre $3{,}5$ ne possède aucun antécédent par $f$.

3 - Résolution d'équations

Enoncé

Correction : Résolution de l'équation $h(x)=1$

Résoudre $h(x)=1$ veut dire que l'on cherche $x$ tel que $h(x)$ vaut $1$. Le nombre $h(x)$ est une ordonnée, on cherche donc $x$ tel que l'on se trouve à la hauteur $1$ sur la courbe. Cela revient donc à chercher les antécédents de $1$. Exactement comme dans la partie précédente.

Ainsi l'équation $h(x) =1$ possède 2 solutions $x = 0{,}6$ et $x=3{,}4$.

On vient donc de remarquer que la résolution d'une équation est exactement une recherche d'antécédent, on se référera ainsi à la partie précédente pour plus d'explications.

4 - Résolution d'inéquations

Enoncé

Correction

• 1) Résoudre l'inéquation $h(x) \geqslant 1$..

On recherche des nombres $x$ qui vérifient $h(x) \geqslant 1$. C'est-à-dire que l'on cherche des points dont l'ordonnée $(h(x))$ est au-dessus de la hauteur $1$ (d'équation $y=1$). On voit qu'elle coupe la courbe aux points d'abscisse $x=0{,}6$ et $x=3{,}4$.

On regarde, et colorie, maintenant la partie de la courbe étant au-dessus de cette droite. Les solutions sont les abscisses de ces points.
On colorie donc la partie de l'axe des abscisses qui correspond à la partie de la courbe également coloriée.

On écrit ces solutions sous forme d'intervalle : $\boxed{S=[0{,}6;3{,}4]}$

• 2) Résoudre l'inéquation $h(x) < 0$.

Ici pas besoin de tracer la droite de hauteur $0$ : c'est l'axe des abscisses. Ainsi résoudre l'inéquation $h(x) < 0$, c'est chercher les $x$ qui font que la courbe est au-dessous de l'axe des abscisses.

On colorie donc la partie de la courbe qui se trouve au-dessous de l'axe des abscisses, puis on colorie la partie de l'axe des abscisses qui correspond à la courbe coloriée. On trouve alors deux parties coloriées.

On écrit les solutions sous forme de réunion d'intervalles : $\boxed{S=[-5;0[ \cup] 4 ;5]}$

On fera bien attention aux bornes des intervalles : $0$ et $4$ sont exclus car on résoud une inéquation stricte : on ne veut pas que $h(x)$ vale $0$ (on résoud $h(x) < 0$, or $h(0)=0$ et $h(4)=0$ d'où leur exclusion).

5 - Tableau de variations

Enoncé

Correction

Pour dresser le tableau de variations de cette fonction, on imagine un point placé tout à gauche de la courbe et qui avance de gauche à droite (on peut aussi imaginer un ballon qui roule sur la courbe de la gauche vers la droite...). La fonction sera croissante lorsqu'on verra que le point (ou le ballon !!) "monte" et décroissante lorsqu'il "descendra".

On repère dans un premier temps une partie de la courbe qui "descend". La courbe commence à $x=-3{,}7$ et descend jusqu'à $x=-1{,}8$.
La fonction sera donc décroissante sur $[-3{,}7;-1{,}8]$

On repère ensuite une partie de la courbe qui "monte". Cette partie de la courbe commence à $x=-1{,}8$ et monte jusqu'à $x=1{,}8$.
La fonction sera donc croissante sur $[-1{,}8;1{,}8]$

On repère, pour finir, une partie de la courbe qui "descend".
Cette partie de la courbe commence à $x=1{,}8$ et descend jusqu'à $x=4{,}1$.
La fonction sera donc décroissante sur $[1{,}8; 4{,}1]$

On résume tout cela (on peut le faire directement) dans un tableau de variations.

6 - Tableau de signes

Enoncé

Correction

Pour connaître le signe de $f$ sur $[-5;5]$, il va falloir voir quand est-ce que la courbe $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses (c'est-à-dire positive), et quand est-ce qu'elle est au-dessous de l'axe des abscisses (c'est-à-dire négative).

On repère dans un premier temps une partie de la courbe qui au-dessus de l'axe des abscisses.
La courbe commence à $x=-4{,}8$ et est positive jusqu'à $x=-3$.

La fonction sera donc positive sur $[-4{,}8;-3]$

On repère ensuite une partie de la courbe qui se trouve au-dessous de l'axe des abscisses.
Cette partie de la courbe commence à $x=-3$ et s'arrête à $x=1$.
La fonction sera donc négative sur $[-3;1]$

On repère, pour finir, une partie de la courbe au-dessus de l'axe des abscisses.
Cette partie de la courbe commence à $x=1$ et se termine en $x=2{,}8$.
La fonction sera donc positive sur $[1; 2{,}8]$

On résume tout cela (on peut le faire directement) dans un tableau de variations.

On résume tout cela (on peut le faire directement) dans un tableau de signes.

7 - Lecture du coefficient directeur d'une droite

Enoncé

Correction

On peut dire (de manière non formelle) que le coefficient directeur est :

$a =$ combien on monte / combien on avance : pour une fonction affine croissante (droite qui "monte").

$a =$ - combien on descend / combien on avance : pour une fonction affine décroissante (droite qui "descend").

1. Coefficient directeur de $D_1$

On choisit deux points bien placés sur la droite. On a pris ici les points $(-3;-2)$ et $(-1; -1)$.

On regarde alors de combien on monte (1) pour aller du premier au second, et de combien on avance (2).

Ainsi : $a=\dfrac{1}{2}$

2. Coefficient directeur de $D_2$

On procède ici de la même manière que pour $D_1$.

On choisit deux points bien placés sur la droite. On a pris ici les points $(-3;2)$ et $(3; -2)$.

On regarde alors de combien on descend (4) pour aller du premier au second, et de combien on avance (6).

Ainsi : $a=\dfrac{-4}{6}=-\dfrac{2}{3}$

8- Autour de la dérivée

Dans cette partie, il faut se rappeler de l'interprétation graphique du nombre dérivé en un point.

Si on a une fonction $f$; un nombre $a$, alors le nombre $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$.

Il est donc essentiel d'avoir compris la partie précédente pour lire celle-ci.

Enoncé

Correction

• 1. Valeur de $f'(1)$

Le nombre $f'(1)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $1$. A savoir ici le coefficient directeur de $MS$.

Cette droite est horizontale, son coefficient directeur est donc nul, ainsi, $f'(1)=0$.

• 1. Valeur de $f'(-1)$

Le nombre $f'(-1)$ représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $-1$. A savoir ici le coefficient directeur de $TM$.

Ainsi, $f'(-1) = \dfrac{y_M-y_T}{x_M-x_T}=\dfrac{2}{1}=2$

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