Factorisation et équation-produit

Objectif du cours

Pour la classe de 3ème.

Concernant la résolution d'équations après factorisation, voici une "fiche-méthode", contenant des exercices (niveau brevet) avec solutions.

1. Propriété de la multiplication

La multiplication possède cette propriété :

$P \times Q = 0$ équivaut à $P = 0$ ou $Q = 0$.

C’est-à-dire qu’un produit de facteurs ne peut être nul que si l’un au moins de ses facteurs est nul.
Cette propriété permet de résoudre les équations particulières où les deux conditions suivantes sont remplies :

• l’un des membres est $0$ ;
• l’autre membre est sous forme factorisée.

2. Exemple

Ainsi, par exemple, l’équation du type produit-nul suivante :

$2x (3x + 1)(5 - 2x) = 0$ $(1)$

revient à :

$2x = 0$ ou $3x + 1 = 0$ ou $5 - 2x = 0$

c’est-à-dire
$x = 0$ ou $x = -\dfrac{1}{3}$ ou $x = \dfrac{5}{2}$

Les solutions de l’équation $(1)$ sont les nombres $-\dfrac{1}{3}$, $0$ et $\dfrac{5}{2}$.

3. Les méthodes de factorisation par facteur commun et/ou par identité remarquable

Les méthodes de factorisation par facteur commun et/ou par identité remarquable permettent de résoudre certaines équations de degré supérieur ou égal à 2.

Par exemple, l’équation

$(x - 5)^2 - 36(x + 1)^2 = 0$ $(2)$

peut être mise sous la forme d’un produit nul, puisque l’on a
$(x - 5)^2 - 36(x + 1)^2 = (x - 5)^2 - (6(x + 1))^2$

$=((x - 5) - 6(x + 1))((x - 5) + 6(x + 1))$

$= (x - 5 - 6x - 6)(x - 5 + 6x + 6)$

$= (-5x - 11)(7x + 1)$.

Ainsi, l’équation $(2)$ équivaut à $(-5x - 11)(7x + 1) = 0$, qui est du type produit-nul.

Ses solutions sont données par : $-5x - 11 = 0$ ou $7x + 1 = 0$
Les solutions de l’équation $(2)$ sont donc $-\dfrac{1}{7}$ et $-\dfrac{11}{5}$.

Énoncés de quelques exercices d'application, d'après des sujets du brevet 2005

Voici quelques exercices d’application, d’après des sujets du Brevet 2005.

Question 1.

Soit $E = 4x^2 - 9 + (2x + 3)(x - 2)$.

1. Factoriser $4x^2 - 9$. En déduire la factorisation de l’expression $E$.

2. Résoudre l’équation $E = 0$.

Question 2.

Soit $F = (2x - 3)^2 - (4x + 7)(2x - 3)$.

1. Factoriser l’expression $F$.

2. Résoudre l’équation $F = 0$.

Question 3.

Soit $G = (3x + 5)(2x + 7) - (3x + 5)^2$.

1. Factoriser $G$.

2. Résoudre l’équation $G = 0$.

Question 4.

Soit $H = (x - 3)^2 - 25$.

1. Factoriser l’expression $H$.

2. Résoudre l’équation $H = 0$.

Question 5.

Soit $I = x^2 - 9 - 2(x - 3)$.

1. Factoriser $x^2 - 9$. En déduire la factorisation de $I$.

2. Résoudre l’équation $I = 0$.

Réponses partielles

Question 1

Les solutions sont $-\dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{5}{3}$.

Question 2

Les solutions sont $\dfrac{3}{2}$ et $-5$.

Question 3

Les solutions sont $2$ et $\dfrac{-5}{3}$.

Question 4

Les solutions sont $-2$ et $8$.

Question 5

Les solutions sont $-1$ et $3$.

Par Zauctore

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