Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est un classique des mathématiques au collège.
Nous aurons besoin dans les calculs de la propriété des produits en croix que vous pouvez retrouver en cliquant sur le lien suivant : Opérations sur les fractions

I. Configurations de Thalès.

1. Énoncé du théorème.

Remarque :
Il existe deux configurations de Thalès :

• la première est dite configuration du triangle :
  

• la seconde est appelée configuration du papillon :
  

L’égalité du théorème met en jeu des longueurs. Grâce à cette égalité, nous allons donc pouvoir calculer des longueurs sur une configuration donnée.

2. Calcul d'une longueur.

Sur la figure précédente, on se donne les informations suivantes :

$AB=5\ cm\ ;\ AM=8\ cm\ ;\ AC=2\ cm \ ;\ MN=12\ cm$

Calculer $AN$ et $BC$.

On sait que :

• Les droites $(MB)$ et $(NC)$ sont sécantes en $A$.
• Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.

Les hypothèses du théorème de Thalès sont vérifiées, nous avons donc l'égalité suivante :

$\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$

On remplace par les valeurs connues :

$\frac{AN}{2}=\frac{8}{5}=\frac{12}{BC}$

On utilise la propriété des produits en croix et on obtient :

• Pour la longueur $AN$ :
  • $AN=\frac{2\times 8}{5}=3,2\ cm$
• Pour la longueur $BC$ :
  • $BC=\frac{5\times 12}{8}=7,5\ cm$

3. Conséquence du théorème.

Remarque :
Cette propriété peut s’appeler aussi "contraposée du théorème de Thalès", mais cette formulation n'est pas à retenir.

Nous allons voir si les hypothèses de la propriété précédente sont vérifiées.
Calculons

• $\frac{FM}{FT} = \frac{5}{11} \simeq 0,45$
• $\frac{FC}{FE} = \frac{7}{15} \simeq 0,46$

On remarque ici que les deux rapports que l'on vient de calculer ne sont pas égaux.
La propriété nous indique alors que les droites ne sont pas parallèles.

Remarque :
Lorsque deux nombres sont différents, il n'est pas nécessaire d'en connaitre une valeur exacte. La plupart du temps, une valeur approchée des nombres suffit à montrer qu'ils sont différents.

II. Réciproque du théorème de Thalès.

Lorsque une propriété est vraie, on s'intéresse souvent à sa propriété réciproque, construite en intervertissant les hypothèses et les conséquences. Le fait qu'une propriété soit vraie n'implique pas nécessairement que sa réciproque est vraie. En effet, pour la proposition

• "Si j'habite en France, alors j'habite en Europe",

sa réciproque sera

• "Si j'habite en Europe, alors j'habite en France."

Cette dernière proposition admet plusieurs contre-exemple évidents.

Dans le cas du théorème de Thalès, la propriété réciproque est fausse en l'état : il faut rajouter une hypothèse.

II. Rappels sur les produits en croix

Nous avons rappelé au début de ce cours la nécessité de maîtriser le Calcul produit en croix dans le Théorème de Thalès. Vous pouvez vous référer à notre cours au sujet des opérations sur les fractions qui vous permettra d'y voir plus clair. Ce cours est en effet l'occasion d'un rappel sur le sujet avec :

1. Des rappels sur :
   2. La propriété des quotients égaux
   3. L'égalité des produits en croix
2. L'addition et soustraction de fractions :
   2. Avec le même dénominateur
   3. Avec des dénominateurs différents
3. Un rappel sur la multiplication de fractions
4. Enfin, un focus sur la division de fractions :
   1. Inverse d'un nombre relatif
   2. Quotient de deux nombres relatifs

Vous disposerez également d'une vidéo complète sur le sujet, et 'il vous reste des questions sans réponses, n'oubliez pas que Mathforu propose également un forum d'aide organisé par niveau. Vous pourrez ainsi accéder au forum dédié aux quatrièmes et aux troisièmes si vous avez des questions sur le produit en croix ou le Théorème de Thalès.

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