Factoriser une différence de deux carrés

L'objectif de ce cours sur la factorisation, est de connaître et savoir utiliser l'identité remarquable $a^2 - b^2$, qui est indispensable en classe de Troisième (et en classe de Seconde ...).

Voici donc une fiche montrant comment écrire les expressions du genre de :

sous la forme d'un produit (ce qui s'appelle : factoriser).

Certaines expressions algébriques peuvent être factorisées sans pour autant présenter de facteur commun apparent : on peut le faire au moyen d’une formule (appelée identité remarquable).

Vocabulaire

Formule

Pour toutes quantités $a$ et $b$, on a l’identité :

$\boxed {a^2-b^2=(a-b)(a+b)}$

En effet, en développant on a bien :

$(a-b)(a+b)=a^2+\underbrace{ab-ba}_\textrm{=0}-b^2$

Reformulation

On voit que $a^2-b^2$ est factorisé en $(a-b)\times(a + b)$, c’est-à-dire :

La différence des carrés de deux nombres est égale au produit de la somme de ces nombres par leur différence.

Il est important de noter que dans la formule, la différence des carrés $a^2-b^2$ est prise dans le même ordre que la différence des nombres $a-b$.

Exemples, applications

a. $4x^2-25 = (2x)^2-5^2 = (2x-5)(2x + 5)$.

b. $16-(x + 3)^2 = 4^2-(x + 3)^2 = [4-(x + 3)][4 + (x + 3)] = (1-x)(x + 7)$.

c. $9(x + 1)^2-1 = [3(x + 1)]^2- 1^2$

$=[3(x + 1)-1][3(x + 1) + 1] = (3x+2)\times(3x + 4)$.

d. $(4x-5)^2-(2x-3)^2 = [(4x-5)-(2x-3)][(4x-5) + (2x-3)]$

$= (2x-2)(6x-8)=4(x-1)(3x-4)$.

e. Résoudre certaines équations du deuxième degré est le principal intérêt d’une telle méthode de factorisation, puisqu’on peut ainsi leur appliquer la règle du produit-nul.

Par exemple, l’équation $4x^2-25 = 0$ est équivalente à l’équation $(2x-5)(2x + 5) = 0$ qui admet les deux solutions : $2{,}5$ et −$2{,}5$.

f. $(n + 1)^2-n^2 = (n + 1-n)(n + 1 + n) = 2n + 1$.
La différence entre les carrés de deux nombres entiers successifs est égale à la somme des deux nombres.

En effet, on voit d’après la factorisation précédente que
$(n + 1)^2-n^2 = n + (n + 1)$.

Ceci présente un intérêt pour le calcul mental des carrés sans multiplication.

En effet, si l’on connaît $13^2 = 169$

Alors $14^2 = 13^2 + 13 + 14 = 169 + 27 = 196$.

Tout savoir à propos des identités remarquables !

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Par Zauctore

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