Le calcul littéral en 3ème

Les propriétés de calcul littéral servent entre autre à démontrer certains résultats. Il est très utile dans de nombreuses notions vues au lycée : il est donc indispensable d'en maîtriser les propriétés.

I. Identités remarquables.

Remarque :

Ces identités portent le nom d’identités remarquables. Elles servent, entre autre, à gagner du temps dans certains développements particuliers.

Exemple :

• $(x+9)^2=x^2+9^2+2\times x\times 9=x^2+81+18x$
• $(3y-5)^2=(3y)^2+5^2-2\times (3y)\times 5=9y^2+25-30y$
• $(7-8z)(7+8z)=7^2-(8z)^2=49-64z^2$

II. Équation du premier degré à une inconnue.

Voir cours équations 4ème

Les équations du premier degré à une inconnue sont de la forme : $ax+b=cx+d$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont donnés.
Résoudre une équation à une inconnue (cette inconnue étant notée $x$), c’est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l’égalité de départ est vraie.

Exemple :

On soustrait $\textbf{2x}$ à chaque membre :
$7x - 1 - \textbf{2x} = 2x - 10 - \textbf{2x} \implies 5x - 1 = 10$
On additionne $\textbf{1}$ à chaque membre :
$5x - 1 + \textbf{1} = 10 + \textbf{1} \implies 5x = 11$
On divise enfin par $\textbf{5}$ chaque membre :
$5x\div\textbf{5} = 11\div\textbf{5} \implies x=2,2$

Remarque :

• Il se peut très bien que des équations n'aient pas de solution. Par exemple, l'équation $x=x+1$ n'admet aucune solution, car il n'existe aucun nombre qui rendent l'égalité vraie.
• Il se peut aussi que certaines équations aient une infinité de solutions. Par exemple, l'équation $3(x+2)=3x+6$ admet une infinité de solution, car tous les nombres relatifs rendent l'égalité vraie.

III. Inéquations du premier degré à une inconnue.

De manière analogue aux équations du premier degré à une inconnue, résoudre une inéquation, c’est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l’inégalité de départ est vraie.

Ainsi, dans l'inéquation $3x+7\geqslant 4$, le nombre $5$ est solution de l'inéquation.

En effet, en remplaçant $x$ par $5$ dans l'inéquation et en effectuant les calculs, on s'aperçoit que :
$3\times 5+7 = 22$ et $22$ est bien supérieur à $4$.

La remarque qui nous vient très vite est : $5$ est-elle la seule solution ?
On se doute assez vite que non ($6$ en est une par exemple).

Nous cherchons nous la totalité des solutions pour une inéquation donnée.
La recherche des solutions d'une inéquation repose sur la propriété suivante :

Nous allons procéder de manière analogue aux équations. On soustrait $\textbf{2}$ à chaque membre, sans changer le sens de l'inégalité

$-4x+2-\textbf{2} > 9-2x-\textbf{2} \implies -4x > 7-2x$

On additionne $\textbf{2x}$ à chaque membre, sans changer le sens de l'inégalité.

$-4x+\textbf{2x} > 7-2x+\textbf{2x} \implies -2x > 7$

Pour finir, on divise par $-2$ chaque membre.
Attention : ici, $-2$ est négatif, on doit donc changer le sens de l'inégalité comme l'indique la propriété précédente.

$\frac{-2x}{\textbf{-2}} < \frac{7}{\textbf{-2}} \implies x < -3,5$

Conclusion
Les solutions de l'inéquation $-4x+2 > 9-2x$ sont les nombres $x$ inférieurs à $-3,5$.
En faisant les calculs, on voit qu'en choisissant le nombre $-5$, qui est bien inférieur à $-3,5$, on obtient une inégalité vraie. $(22>19$)

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