Résolution de systèmes d'équations

Ce cours s'adresse en particulier aux élèves de Troisième.

Plan de cours

Il traite des différentes méthodes permettant de résoudre un système de deux équations à deux inconnues, ainsi que du choix de l'une ou de l'autre de ces méthodes :

la substitution
la combinaison linéaire
l'interprétation graphique.

Cours : Systèmes de deux équations à deux inconnues

Exemple :

$\left\{ \begin{array}{l} 2x-y = 1 & (1)\\ -x+2y = 4 & (2) \end{array} \right.$

Ce système est constitué de deux équations simultanées et deux inconnues $x$ et $y$ .

1) Méthodes algébriques de résolution

Résoudre le système, c’est trouver toutes les solutions communes aux deux équations, c’est-à-dire trouver les couples $(x ; y)$ pour lesquels les deux égalités sont vraies simultanément.

Le principe général consiste à éliminer une inconnue pour se ramener à la résolution d’une équation du premier degré à une inconnue.

Par substitution

On isole une des deux inconnues dans une des équations.
On la remplace (substitue) par son expression dans l’autre équation.
On détermine la valeur d’une des inconnues.
On remplace celle-ci par sa valeur dans la première expression.
On détermine la valeur de la seconde inconnue.

Exemple :

$\left\{ \begin{array}{l} 2x-y = 1 \\ -3x+2y = 4 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ -3x+2y = 4 \end{array} \right.$

On a isolé $y$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ -3x+2 (2x - 1)= 4 \end{array} \right.$

On a remplacé $y$ par sa valeur

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ -3x+ 4x - 2= 4 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 2x - 1 \\ x = 6 \end{array} \right.$

On a trouvé $x$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 2 \times 6 - 1 \\ x = 6 \end{array} \right.$

On a trouvé $y$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 11\\ x = 6 \end{array} \right.$

La solution est le couple $(6 ; 11)$

Vérification

$2\times 6 -11$ est bien égal à $1$
$(-3) \times 6+2 \times 11$ est bien égal à $4$

Par combinaison linéaire

On multiplie les équations par des nombres choisis de manière à obtenir les coefficients égaux (ou opposés) dans chacune des deux équations pour une des deux inconnues.
On soustrait (ou additionne) membre à membre les deux équations du système afin d’obtenir une équation à une seule inconnue.
On détermine alors cette inconnue en résolvant cette équation.
On détermine ensuite l’autre inconnue en reportant la valeur de la première inconnue dans une des équations de départ.

Exemple 1 :

$\left\{ \begin{array}{l} 5x+11y = 1 \\ 2x+3y = 6 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} 5x+11y = 1 & (1)\\ 2x+3y = 6 & (2) \end{array} \right.$

On multiplie l'équation $(1)$ par $2$

On multiplie l'équation $(2)$ par $5$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} 10x+22y = 2 & (1)\\ 10x+15y = 30 & (2) \end{array} \right.$

$[10x+22y = 2]$ $-$ $[10x+15y = 30]$ $\Longleftrightarrow$ $7y = -28$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = -\dfrac{28}{7} & (1)\\ 2x+3y = 6 & (2) \end{array} \right.$

$(1)$ on élimine ainsi les $x$ et on trouve $y$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = -4 \\ 2x+3 \times (-4) = 6 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = -4 & (1) \\ 2x+3 \times (-4) = 6 & (2) \end{array} \right.$

$(2)$ on remplace $y$ par sa valeur

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = -4 \\ 2x = 18 & (2) \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = -4 \\ x = 9 & (2) \end{array} \right.$

La solution est le couple $(9 ; -4)$

Vérification :

$5 \times 9-11 \times 4$ est bien égal à $1$
$2 \times 9-3 \times 4$ est bien égal à $6$

Exemple 2 :

$\left\{ \begin{array}{l} 6x-5y = 6 \\ -3x+2y = -5 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} 6x-5y = 6 & (1)\\ -3x+2y = -5 & (2) \end{array} \right.$

On multiplie l'équation $(2)$ par $2$ .

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} 6x-5y = 6 & (1)\\ -6x+4y = -10 & (2) \end{array} \right.$

On ajoute l'équation $(1)$ à l'équation $(2)$ .

$[6x-5y = 6] + [-6x+4y = -10]$ $\Longleftrightarrow$ $-y = -4$

On ajoute l'équation $(1)$ à l'équation $(2)$ .

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} -y = -4 & (1)\\ -3x+2y = -5 & (2) \end{array} \right.$

On élimine ainsi les $x$ dans l'équation $(1)$ et on trouve $y$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 4 \\ -3x+2y = -5 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 4 & (1)\\ -3x+2 \times 4 = -5 & (2) \end{array} \right.$

On remplace $y$ par sa valeur dans l'équation $(2)$ .

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 4 \\ -3x = -13 \end{array} \right.$

$\Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} y = 4 \\ x = \dfrac{13}{3} \end{array} \right.$

La solution est le couple $(\dfrac{13}{3} ;4)$ .

Vérification :

$6 \times \dfrac{13}{3} -5 \times 4$ est bien égal à $6$
$(-3) \times \dfrac{13}{3} + 2\times 4$ est bien égal à $-5$

Remarque

Lorsque l’un des coefficients est égal à $1$ ou $-1$ on préfère prendre la méthode par substitution car elle simplifie les calculs mais dans le cas général c’est la méthode par combinaison qu’il faut utiliser.

2) Méthode et interprétation graphique

Exemple

Résoudre graphiquement le système

$\left\{ \begin{array}{l} 2x-y = 1 & (1)\\ -x+2y = 4 & (2) \end{array} \right.$

Le principe consiste à associer aux deux équations $(1)$ et $(2)$ les deux équations de droites suivantes : $y = 2x-1$ et $y = \dfrac{1}{2}x+2$

Les deux droites sont sécantes car les coefficients directeurs ne sont pas égaux ( $2 \neq \dfrac{1}{2}$ ).

Graphiquement, les coordonnées $(2;3)$ de l’unique point d’intersection $S$ des droites $(1)$ et $(2)$ constituent la solution graphique du système.

Commentaire :

Cette détermination graphique qui est approximative permet :

de contrôler des résultats obtenus par calculs
d’anticiper l’existence ou non de solution(s)
droites $(1)$ et $(2)$ sécantes : 1 solution
droites $(1)$ et $(2)$ strictement parallèles : 0 solutions
droites $(1)$ et $(2)$ confondues : infinité de solutions