Les dérivées des fonctions de référence

Voici un résumé des dérivées des fonctions de référence, pour la classe de première S, avec :

  • Les dérivées des fonctions simples
  • Les dérivées des fonctions composées
  • Les dérivées des fonctions de fonctions
  • Les dérivées des fonctions réciproques

Ce cours vous est proposé par Nelly.

I - Dérivées des fonctions simples

aa un réel quelconque et xx différent de 00.

Fonctions Dérivées
aa 00
xnx^n nxn−1nx^{n-1}
x\sqrt{x} 12x\frac{1}{2\sqrt{x}}
1x\frac{1}{x} −1x2\frac{-1}{x^2}
exe^x exe^x
axa^x axln(a)a^xln{(a)}
ln(x)ln(x) ou ln∣x∣ln |x| 1x\frac{1}{x}
sin⁡(x)\sin(x) cos⁡(x)\cos(x)
cos⁡(x)\cos(x) −sin⁡(x)-\sin(x)
tan⁡(x)\tan(x) 1cos⁡2(x)\frac{1}{\cos^2(x)} ou 1+tan⁡2(x)1 + \tan^2(x)
arcsin⁡(x)\arcsin(x) 11−x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
arccos⁡(x)\arccos(x) −11−x2\frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}
arctan⁡(x)\arctan(x) 11+x2\frac{1}{1+x^2}

Conseils de Nelly :
Panique pendant une interro !
Quelles sont les dérivées de cos⁡\cos et de sin⁡\sin...??
Voilà une petite astuce pour s'en souvenir :

  • sin⁡\sin commence par un "s" comme simple : sa dérivée est donc cos⁡\cos
  • cos⁡\cos commence par un "c" comme compliqué :sa dérivée est donc sin⁡\sin

II - Opérations sur les fonctions dérivées

uu, vv et ww sont des fonctions de la variable xx.

(u+v+w)′=u′+v′+w′(u + v + w)' = u' + v' + w'
(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv'
(uv)′=u′v−uv′v2(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

III - Dérivées de composée de fonctions

y=f(u)y = f(u) avec u=g(x)u = g(x)
f′(x)=f′(u)×g′(x)f'(x) = f'(u)\times g'(x)

Exemple

f(x)=sin⁡(2x+3)f(x) = \sin(2x + 3)

ici
f(x)=sin(u)f(x) = sin(u) avec u(x)=2x+3u(x) = 2x +3
f′(u)=cos⁡(u)f'(u) = \cos(u) avec u′(x)=2u'(x) = 2

f′(x)=cos⁡(2x+3)×2f'(x) = \cos(2x + 3)\times 2

Conseils de Nelly:
Faites bien attention à u′u', il est très souvent oublié!

IV - Dérivées des fonctions réciproques

Je note f−1f^{-1} la fonction réciproque d'une fonction ff

SI y=f(x)⟺x=f−1(y)y=f(x) \Longleftrightarrow x=f^{-1}(y)
ALORS f′(x)×f−1(y)=1f'(x)\times f^{-1}(y) = 1

Exemple

y=f(x)=2x⟺x=f−1(y)=y/2y = f(x) = 2x \Longleftrightarrow x = f^{-1}(y) = y/2

ici: f′(x)=2f'(x) = 2 et f−1(y)′=12f^{-1}(y)^\prime = \frac{1}{2}
f′(x).f−1(y)′=2×12f'(x). f^{-1}(y)^\prime = 2\times \frac {1}{2}
f′(x).f−1(y)′=1f'(x). f^{-1}(y)^\prime = 1

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