Quelques propriétés de la bissectrice

Par Zauctore

Plan de cours

Voici quatre propriétés en rapport avec la bissectrice dans le triangle :

Remarques

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Cours

Théorème 1 (Troisième)

Démonstration.

La parallèle à $(AI)$ en B coupe (AC) en D. Alors les angles $\widehat{\mathrm{ABD}}$ d’une part alterne-interne à $\widehat{\mathrm{BAI}}$, et $\widehat{\mathrm{BDA}}$ d’autre part correspondant à $\widehat{\mathrm{IAC}}$, sont égaux : ainsi le triangle $ADB$ est isocèle en $A$, donc $AD = c$.

Avec le théorème de Thalès (les segments correspondants sont proportionnels), on en déduit :

$\dfrac{BI}{IC} =\dfrac{DA}{AC}$

c’est-à-dire

$\dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{b}$

Théorème 2 (Seconde)

Démonstration.

Soit $D$, le point d'intersection de $(AI)$ et du cercle circonscrit à $ABC$. Les triangles $AIB$ et $ACD$ sont semblables comme ayant deux angles correspondants égaux ;
les côtés correspondants sont proportionnels, c'est-à-dire en particulier :

$\dfrac{AB}{AD} =\dfrac{AI}{AC}$.

Le produit des côtés $AB$ et $AC$ devient donc :

$AB \times AC = AI \times AD = AI \times (AI + ID)$

$= AI^2 + AI \times ID$ $(1)$

Or, les triangles $AIB$ et $CID$ sont semblables ; donc on a :

$\dfrac{AI}{CI} = \dfrac {BI}{DI}$

d'où :

$AI \times ID = BI \times IC$ .

En remplaçant dans $(1)$, on obtient la formule annoncée :

$AB \times AC = AI^2 + AI \times ID = AI^2 + BI \times IC$

Théorème 3 (Seconde)

Démonstration.

D’après le théorème 2 précédent, on sait que :

$(2)$ $\beta_A^2$ = $bc - xy$

Or le théorème 1 peut se traduire par le tableau de proportionnalité suivant :

$x$	$y$	$x+y=a$
$c$	$b$	$b+c$

On en déduit :

$x= \dfrac{ac}{b+c}$ et $y=\dfrac{ab}{b+c}$

En reportant ces valeurs dans $(2)$, on a :

$\beta_A^2$ = $bc - xy$

$= bc - \dfrac{ac}{b+c} \times \dfrac{ab}{b+c}$

$=\dfrac{bc}{(b+c)^2} ((b+c)^2-a^2)$

Par factorisation, on en déduit :
$=\dfrac{bc}{(b+c)^2}(b+c-a)(b+c+a)$

Or avec $p = \dfrac{a+b+c}{2}$, on a :

$(b+c-a)(b+c+a)= 2(p-a)2p$

d'où finalement :

$\beta_A^2$ =$\dfrac{4bc}{(b+c)^2}p(p-a)$

Théorème 4 (Première)

Démonstration.

L’aire de $ABC$ peut s’exprimer de deux façons. D'une part, on a :
$S=\dfrac{1}{2} bc\sin{\widehat{\mathrm{A}}}$

D'autre part avec $Aire(ABC) = Aire(ABI) + Aire(AIC)$, on a aussi :

$S=\dfrac{1}{2}c$$\beta_A$$\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}$$+\dfrac{1}{2}b\beta_A$$\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}$

On en déduit donc :

$\beta_A(b+c)\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}} = bc\sin{\widehat{\mathrm{A}}}$

La formule de duplication du sinus donne :

$\beta_A(b+c)\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}} = 2bc\sin{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}\cos{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}$

On a donc finalement :

$\beta_A = \dfrac{2bc}{b+c} \times \cos{\frac{\widehat{\mathrm{A}}}{2}}$

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