Mise en forme canonique et résolution du second degré

Mise en forme canonique du trinôme de la forme $ax^2+bx+c$

On a un trinôme de la forme $ax^2+bx+c$.

Développement

$ax^2+bx+c$

$=a \times \big[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\big]$

$=a \times \bigg[ \big(x+\dfrac{b}{2a}\big)^2 + \dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}\bigg]$

$=a\times \bigg[ \big(x+\dfrac{b} {2a}\big)^2 - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\bigg]$

$=a \times \bigg[ \big(x+\dfrac{b}{2a}\big)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\bigg]$

Explications

Le calcul qui t'embête c'est:

$\dfrac{c}{a} - \dfrac{b^2}{4a^2}$

$= \dfrac{4ac}{4a^2} - \dfrac{b^2}{4a^2}$

=> On met au même dénominateur

$=\dfrac{4ac-b^2}{4a^2}$

$= - \dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

Voilà.
Il faut juste remarquer que $4ac-b^2=-(b^2-4ac)$.

Résolution des équations du 2nd degré

De la forme canonique on retrouve les bases de la résolution des équations du 2nd degré:

On cherche quand l'expression s'annule:

Solutions : nombre et formules

Donc vu que le membre de gauche est positif ou nul, que $4a^2>0$, si:

• $\Delta<0$, l'équation ne peut avoir de solution dans $\mathbb{R}$ (un carré(membre de gauche) n'est jamais strictement négatif).

• $\Delta=0$, l'équation possède une unique solution dans $\mathbb{R}$:

Il faut $\bigg(x+\dfrac{b}{2a}\bigg)^2=0$, donc $x= \dfrac{-b}{2a}$.

• $\Delta>0$, l'équation possède 2 solutions dans $\mathbb{R}$ (cf. la fonction $x \rightarrow x^2$):

$\bigg(x+\dfrac{b}{2a}\bigg)^2 = \dfrac{\Delta}{4a^2}$

$x+\dfrac{b}{2a} = \pm{\dfrac{\sqrt\Delta}{2a}}$ => on passe à la racine.

Et $\boxed{x=\bigg(\dfrac {-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\bigg)}$.

Merci à Jeet-Chris

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