Le second degré (2ème partie)

I. Factorisation de $ax² + bx +c$

On commence par rechercher les racines du polynôme, c'est-à-dire les solutions de l'équation : $2x^2 - x - 6 = 0$, on a :

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 49$

Les deux racines sont :

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2\times 2} = 2$ et $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{49}}{2\times 2} = - \frac{3}{2}$

Donc : $2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2})$

$9x^2 - 6x + 1$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = (-6)^2 - 4 \times 9 \times 1 = 0$

Comme $\Delta = 0$, le polynôme admet une unique racine "double" :

$x_0 = \frac{-(-6)}{2\times 9} = \frac{1}{3}$

Donc : $9x^2 - 6x + 1 = 9(x - \frac{1}{3})²$

$x^2 + 3x + 10$ : effectuons le calcul du discriminant.

$\Delta = 3^2 - 4 \times 1 \times 10 = -31$

Comme $\Delta < 0$, le polynôme n'a pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

II. Etude du signe de $ax² + bx +c$

Cas où $\Delta > 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ coupe l'axe des abscisses, en changeant de signe, en deux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$.

Cas où $\Delta = 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ a un point de contact avec l'axe des abscisses au point d'abscisse $x_0$, sans changer de signe.

Cas où $\Delta < 0$	$a > 0$	$a < 0$
$\mathcal P$ est entièrement située de l'un des côtés de l'axe des abscisses.

1. On a vu que : $\Delta = 49$ et que : $x_1 = 2$ et $x_2 = - \frac{3}{2}$.
   On applique le théorème n°2 avec $a = 2 > 0$.
   

2. On lit les solutions à l'aide du tableau : $S = ]-\infty ; 2[ \cup ]-\frac{3}{2} ; +\infty[$

Toutes nos vidéos sur le second degré (2ème partie)