Probabilités en 1ère S

I. Rappels.

Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est lié au hasard. Une expérience aléatoire est composée d'issues. Un évènement est composé de plusieurs issues ;
Une probabilité est un réel positif et inférieur à 1 ;
On note souvent $\Omega$ l'univers associé à l'expérience aléatoire ;
On note souvent $A$ un évènement, c'est un sous-ensemble de $\Omega$ ;
$\bar{A}$ est l'évènement contraire de $A$ : $P(\bar{A})=1-P(A)$ ;
$A\cap B$ est l'intersection des évènements $A$ et $B$ . $A\cup B$ est la réunion des évènements $A$ et $B$ . On rappelle que $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ .

II. Variables aléatoires

1. Définitions.

Utilisons un exemple afin de définir ces nouvelles notions.

Exemple :
Une urne contient 9 jetons numérotés de 1 à 9.
Un joueur tire un jeton au hasard dans l'urne :

si le numéro tiré est pair, il gagne 1 € ;
si le numéro tiré est 1 ou 9, il gagne 10 € ;
sinon, il perd 3 €.

A chaque issue du jeu, on associe le gain correspondant :

$\Omega =\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

Les gains potentiels peuvent se résumer dans le tableau suivant :

gain ou perte	nombre relatif associé	issues
gain de 1 €	1	2, 4, 6, 8
gain de 10 €	10	1, 9
perte de 3 €	-3	3, 5, 7

On dit que :
"on définit une variable aléatoire $X$ sur $\Omega$ qui est égale au gain algébrique du joueur"

Notations :
L'ensemble des valeurs pour lesquelles $X$ vaut 1 est : $\{2, 4, 6, 8\}$
On note :

$(X=1)=\{2\ ;\ 4\ ;\ 6\ ;\ 8\}$

$(X=10)=\{1\ ;\ 9\}$

$(X=-3)=\{3\ ;\ 5\ ;\ 7\}$

On dit que cette variable est discrète parce qu'elle prend un nombre fini de valeurs.

Définissions maintenant rigoureusement la notion de variable aléatoire.

Définition :
Une variable aléatoire discrète sur $\Omega$ est une fonction $X$ de $\Omega$ dans $\mathbb R$ .

$\Omega\overset{X}{\longrightarrow}\mathbb R$

$e_i\longmapsto x_i$

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire.

Dans l'exemple précédent, on a les égalités suivantes :

$P(X=1)=\frac{4}{9}\ ;\ P(X=10)=\frac{2}{9}\ ;\ P(X=-3)=\frac{3}{9}$

Définition :
On suppose que $X$ prend les valeurs $\{x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_p\}$
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ , c'est donner l'ensemble des probabilités $p_i=P(X=x_i)$ , avec $1\leq i\leq p$ .

Remarques :
Une loi de probablité est souvent donnée sous forme d'un tableau.

$x_i$	$x_1$	$\ldots$	$x_p$
$p_i$	$P(X=x_1)$	$\ldots$	$P(X=x_p)$

Exemple :
Dans l'exemple précédent, on obtient alors le tableau suivant :

$x_i$ $-3$ $1$ $10$

$p_i$ $\frac{3}{9}$ $\frac{4}{9}$ $\frac{3}{9}$

On ordonne en général les valeurs $x_i$ dans l'ordre croissant.

Propriété :
La somme des probabilités d'une loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est égale à 1.
On note aussi :

$\sum_{i=1}^p P(X=x_i)=1$

3. Espérance d'une variable aléatoire.

Définition :
On appelle espérance mathématique de $X$ le nombre noté $E(X)$ et défini par

$E(X)=x_1\times p_1 + x_2\times p_2 + \ldots + x_n\times p_n = \sum_{i=1}^n x_i p_i$

Exemple :
Dans l'exemple précédent, on peut calculer l'espérance mathématique.

$E(X)=-3\times\frac{3}{9} + 1\times\frac{4}{9} + 10\times\frac{2}{9}$

$E(X)=\frac{-9+4+20}{9}$

$E(X)=\frac{5}{3}$

On a une espérance mathématique égale à $\frac{5}{3}$ , soit environ 1,66 €.

Remarques :

$E(X)$ a la même unité que la variable aléatoire $X$ . Dans l'exemple précédent, il s'agit d'un gain moyen de 1,66 €. On peut aussi voir que si l'espérance mathématique est positive, le jeu est gagnant, et si elle est négative, le jeu est perdant.
L'espérance mathématique peut se voir aussi comme la moyenne d'une série statistique.

Propriété :
Si $Y$ est la variable aléatoire définie par $Y=aX+b$ , où $a$ et $b$ sont des réels, alors

$E(Y)=aE(X)+b$

Démonstration :

$E(Y)=(ax_1+b)p_1 + (ax_2+b)p_2 +\ldots + (ax_n+b)p_n$

$E(Y)=a(x_1 p_1+\ldots +x_n p_n)+b(p_1+\ldots +p_n)$

$E(Y)=aE(X)+b\times 1$

$E(Y)=aE(X)+b$

Autrement dit, si par exemple $Y$ est la variable aléatoire consistant à tripler les gains du jeu et retirer 5 €, alors l'espérance mathématique de Y sera triplée et ôtée de 5 €.

$E(Y)=E(3X-5)=3E(X)-5=\frac{15}{3}-5=0$

4. Variance et écart-type.

Définition :

On appelle variance de $X$ le nombre noté $V(X)$ et défini par

$V(X)=x_1^2p_1 +x_2^2p_2+\ldots + x_n^2p_n -E(X)^2$

On appelle écart-type de $X$ le nombre noté $\sigma(X)$ et défini par

$\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$

Remarque :
On peut aussi voir la variance d'après la formule suivante :

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$

La variance et l'écart-type sont des caractéristiques de dispersion, indiquant comment les valeurs sont dispersées ou non autour de l'espérance.

Exemple :
Dans notre exemple,

$V(X)=(-3)^2\times\frac{3}{9} + 1^2\times\frac{4}{9} + 10^2\times\frac{2}{9} - \frac{25}{9}=\frac{206}{9}$

$\sigma (X)=\frac{\sqrt{206}}{3}$

Propriété :

$V(aX+b)=a^2V(X)$
$\sigma (aX+B)=\vert a\vert \sigma (X)$

Probabilités en 1ère S

I. Rappels.

II. Variables aléatoires

1. Définitions.

2. Loi de probabilité d'une variable aléatoire.

3. Espérance d'une variable aléatoire.

4. Variance et écart-type.

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