Formule de la médiane en Première S

On suppose connue la loi des cosinus (formule d’Al-Kashî), dont l’énoncé est rappelé ci-dessous.

Théorème 1 (Loi des cosinus).

Cette relation permet de calculer la longueur d’une médiane à partir des côtés dans un triangle.

Théorème 2 (Formule de la médiane).

Démonstration.

Avec $D$ symétrique de $A$ par rapport à $A'$, la loi des cosinus dans $ABD$ donne :

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos{\widehat{ABD}}$.

Or, on a $BD = AC, AD = 2 \times AA'$ et $\widehat{ABD} = 180 -\widehat{BAC}$ ; donc $4 \times AA'^2 = AB^2 + AC^2 + 2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}}$, puisque deux angles supplémentaires ont des cosinus opposés.

Dans le triangle $ABC$, la loi des cosinus donne $2 \times AB \times AC \times \cos{\widehat{BAC}} = AB^2 + AC^2 - BC^2$.

On en déduit donc : $4 \times AA'^2 = 2 \times AB^2 + 2 \times AC^2 - BC^2$.

Corollaire 1.

Avec les notations traditionnelles ($a$, $b$, $c$ et $m_A$) dans le triangle, on a :

$\boxed{m^2_A = \dfrac{b^2 + c^2}{2} - \dfrac{a^2}{4}}$

Par Zauctore

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