Fonctions dérivées en 1ère S

I. Nombre dérivé

$f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.

1. Définitions

On fixe un nombre $a$ dans l'intervalle $I$.
Le réel

$T_f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\textrm{ avec } k\in\mathbb R^+$

s'appelle le taux d'accroissement de $f$ en $a$.

Exemple :

1. La fonction carrée est-elle dérivable en $3$.
   On pose $g(x)=x^2$
   On calcule :
   $g(3+h)=(3+h)^2=9+2\times 3\times h+h^2=9+6h+h^2$
   et $g(3)=3^2=9$
   Calculons le taux d'accroissement de $g$ en $a$.

$T_g(3)=\frac{g(3+h)-g(3)}{h}=\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h$

et

$\lim_{h\rightarrow 0}T_g(3)=6$

La fonction carrée est dérivable en $3$ et $g'(3)=6$.

2. $f$ est définie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=3x^3-5$. Est-elle dérivable en $1$ ?
   Calculons le taux d'accroissement :

$T_f(1)=\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

D'une part :
$f(1+h)=3(1+h)^3-5=3(1+3h+3h^2+h^3)-5=3h^3+9h^2+9h-2$
et
$f(1)=3-5=-2$
Ainsi, on a pour le taux d'accroissement :

$T_f(1)=\frac{3h^3+9h^2+9h-2-(-2)}{h}=3h^2+9h+9$

et

$\lim_{h\rightarrow 0} T_f(1)=9$

$f$ est donc dérivable en $1$ et $f'(1)=9$.

2. Nombre dérivé et tangente

Dans un repère $(O\ ;\vec i\ ;\vec j)$, $(\mathcal C)$ est la courbe de $f$.

$\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
On remarque que $\frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$ est en fait $T_f(a)$.
Ainsi, si $f$ est dérivable en $a$, $(AB)$ a une position limite, quand $h\rightarrow 0$, qui est la tangente à la courbe en $A$.
Donc

Exemple :
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$
On a vu que $g'(3)=6$. $T_A$ a pour coefficient directeur $6$ ; elle a une équation du type :

$y=6x+p$

Or, $A(3;\ g(3))=(3\ ;9)$ appartient à $T_A$.
Donc :

$9=6\times 3+p \Rightarrow p=-9$

Ainsi, $T_A$ a pour équation : $y=6x-9$

On peut généraliser le résultat précédent par la propriété suivante :

Démonstration :
$T_A$ a pour coefficient directeur $f'(a)$ ;
Donc : $y=f'(a)x+p$
$A(a\ ;f(a))\in (T_A)$ donc $f(a)=f'(a)\times a+p$
Donc, $p=f(a)-f'(a)\times a$.
Ainsi,

$(T_A) : y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a$

$(T_A) : y=f'(a)(x-a)+f(a)$

3. Exemples de fonctions non dérivables en une valeur

Etudions la dérivabilité en $0$. Pour cela, calculons le taux d'accroissement.

$T_0=\frac{r(0+h)-r(0)}{h}=\frac{\sqrt h}{h}=\frac{1}{\sqrt h}$

La limite quand $h\rightarrow 0$ n'existe pas. La fonction racine carrée n'est donc pas dérivable en $0$.

Procédons de la même manière :

$T_0=\frac{a(0+h)-a(0)}{h}=\frac{\vert h\vert}{h}$

Deux cas se présentent à nous :

• si $h>0,\ T_0(h)=1$
• si $h<0,\ T_0(h)=-1$

La limite quand $h\rightarrow 0$ n'existe pas (il y en a deux). La fonction valeur absolue n'est donc pas dérivable en $0$.

II. Fonctions dérivables

1. Dérivabilité de fonctions usuelles

Voici une liste non exaustive de fonctions et de leur dérivée :

On peut écrire la propriété générale suivante :

2. Opérations sur les fonctions dérivables

1. $f(x)=x^3+5x^2-7x+3$
   $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$, elle est donc dérivable sur $\mathbb R$ et on a :

$f'(x)=3x^2+5\times 2x-7\times 1 +0$

$f'(x)=3x^2+10x-7$

2. $g(x)=\sqrt x(x+2)$
   $g$ est un produit de fonction dérivables sur $]0;+\infty[$ ($g=u\times v$ où $u(x)=\sqrt x$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $v(x)=x+2$ est dérivable sur $\mathbb R$)

$g'(x)=u'v+uv'=\frac{1}{2\sqrt x}\times (x+2)+\sqrt x\times 1$

$g'(x)=\frac{x+2}{2\sqrt x}+\sqrt x$

3. $h(x)=\frac{3x-4}{x^2-1}$
   $h=\frac{u}{v}$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb R\backslash\{-1;1\}$ et on a :

$h'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{3(x^2-1)-2x(3x-4)}{(x^2-1)^2}$

$h'(x)=\frac{-3x^2+8x-3}{(x^2-1)^2}$

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