Les fonctions de références et les fonctions associées en 1ère S

I. Les fonctions de référence

1. Fonctions affines

Les fonctions affines sont définies sur R\mathbb R. La formule générale est donnée par :

f(x)=ax+bf(x)=ax+b

Le nombre aa s'appelle le coefficient directeur et le nombre bb s'appelle l'ordonnée à l'origine.

En fonction de aa, on peut définir les variations de la fonction ff :
{si a>0, f est strictement croissantesi a<0, f est strictement deˊcroissantesi a=0, f est constante\begin{cases}\textrm{si }a>0,\ f\textrm{ est strictement croissante} \\ \textrm{si }a<0,\ f\textrm{ est strictement décroissante} \\ \textrm{si }a=0,\ f\textrm{ est constante}\end{cases}

La courbe représentative d'une fonction affine est une droite.

2. La fonction carrée.

La fonction carrée est définie sur R\mathbb R. La formule générale est donnée par :

c(x)=x2c(x)=x^2

On précise les variations de la fonction carrée dans le tableau suivant :

xx -\infty 0 ++\infty
x2x^2 tableau-variations 0 tableau-variations

La fonction carrée est décroissante sur ] ; 0]]-\infty\ ;\ 0] et croissante sur [0 ; [[0\ ;\ \infty[

Voici sa courbe représentative :

3. La fonction inverse.

La fonction inverse est définie sur R\mathbb R^*, c'est à dire pour tout xx différent de 0. La formule générale est donnée par :

i(x)=1xi(x)=\frac{1}{x}

On précise les variations de la fonction inverse dans le tableau suivant :

xx -\infty 0 ++\infty
1x\frac{1}{x} tableau-variations tableau-variations

La fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[]-\infty\ ;\ 0[.
La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty[.

On remarque que le point OO est centre de symétrie de H\mathcal H.

4. La fonction racine carrée

Tout nombre positif ou nul admet une racine carrée, que l'on note x\sqrt x. Le nombre x\sqrt x est l'unique nombre positif vérifiant (x)2=x(\sqrt x)^2=x

La fonction racine carrée est définie sur R+\mathbb R^+. La formule générale est donnée par :

R(x)=xR(x)=\sqrt x

Variations de la fonction racine carrée :
Soient aa et bb deux nombre positifs, tels que 0a<b0\leq a.
On veut comparer a\sqrt a et b\sqrt b. Pour cela, on considère leur différence :

ab=(ab)(a+b)a+b=aba+b\sqrt a -\sqrt b=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}

Comme a\sqrt a et b\sqrt b sont positifs, leur somme a+b\sqrt a+\sqrt b l'est aussi.
Or, nous avons supposé que a<ba. Donc ab<0a-b<0, ce qui implique que

aba+b<0\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}<0

Ainsi, ab<0\sqrt a-\sqrt b<0.
En conclusion,

a<ba<ba

La fonction racine carrée est donc croissante sur [0 ; +[\lbrack 0\ ;\ +\infty\lbrack.
Voici son tableau de variations :

xx 00 ++\infty
x\sqrt x tableau-variations

On dit aussi que la fonction racine carrée conserve l'ordre.

Voici sa représentation graphique :

5. La fonction valeur absolue

Pour tout réel xx, la valeur absolue de xx est égale à :

{x si x est positif ;x si x est neˊgatif.\begin{cases}x\textrm{ si }x\textrm{ est positif ;} \\ -x\textrm{ si }x\textrm{ est négatif.}\end{cases}

On la note x\vert x\vert

Exemple :

  • 3=3\vert 3\vert=3 ; 15=(15)=15\vert -15\vert =-(-15)=15
  • π2=π2\vert \pi -2\vert=\pi -2 ; 3π=π3\vert 3-\pi\vert =\pi -3

Remarques :

  1. x=0x=0\vert x\vert=0 \Longleftrightarrow x=0
  2. x=x\vert x\vert=\vert -x\vert
  3. xR, x2=x\forall x\in\mathbb R,\ \sqrt x^2=\vert x\vert
  4. xR, yR, x=yx=y ou x=y\forall x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ \vert x \vert=\vert y\vert\Longleftrightarrow x=y\textrm{ ou }x=-y

On pose A(x)=xA(x)=\vert x\vert. On peut alors dire :

x ] ; 0], A(x)=x\forall x\in\ ]-\infty\ ;\ 0],\ A(x)=-x

x[0 ; +[ A(x)=x\forall x\in \lbrack0\ ;\ +\infty\lbrack \,\ A(x)=x

On dit que la fonction valeur absolue est affine par morceaux.

Variations de la fonction valeur absolue :
On dresse le tableau de variations de la fonction valeur absolue.
valeur absolue

xx -\infty 00 ++\infty
x\vert x\vert valeur-absolue image

Voici sa courbre représentative :

II. Les fonctions associées.

On peut se contenter de lire les parties "Ce qu'il faut retenir", mais pour une bonne maîtrise technique, on conseille de lire attentivement les démonstrations.

Dans toute la suite, on désigne par uu une fonction définie sur un intervalle II.

1. Variations de u+ku+k, (kR)(k\in\mathbb R)

Propriété :
Les fonctions uu et u+ku+k, avec kRk\in\mathbb R, ont le même sens de variations.

Démonstration :
Supposons que uu est croissante sur II.
Alors, aI\forall a\in I, bI\forall b\in I,

a<bu(a)<u(b)a

et kR\forall k\in\mathbb R,

u(a)+k<u(b)+ku(a)+k

En résumé, a<bu(a)+k<u(b)+ka
u+ku+k est croissante sur II.
On effectue le même raisonnement lorsque uu est décroissante.

Ce qu'il faut retenir :
Si on ajoute un nombre à une fonction uu, la nouvelle fonction obtenue a les mêmes variations que uu.

2. Variations de λu\lambda u, (λ0)(\lambda\neq 0)

Propriété :

  • Si λ>0\lambda >0, uu et λu\lambda u ont les mêmes variations sur II ;
  • Si λ<0\lambda <0, uu et λu\lambda u ont des variations contraires sur II.

Démonstration :
Supponsons que uu est décroissante sur II.
Alors, aI\forall a\in I, bI\forall b\in I,

a<bu(a)>u(b)au(b)

Si λ>0\lambda >0, alors

λu(a)>λu(b)\lambda u(a)>\lambda u(b)

et λu\lambda u est décroissante sur II.
Si λ<0\lambda <0, alors

λu(a)<λu(b)\lambda u(a)<\lambda u(b)

et λu\lambda u est croissante sur II.
On effectue le même raisonnement pour uu décroissante.

Ce qu'il faut retenir :
Si on multiplie par un nombre une fonction uu, la nouvelle fonction obtenue a les mêmes variations que uu si le nombre est positif, et a des variations contraires si le nombre est négatif.

3. Variations de u\sqrt u

Propriété :
uu est définie sur II et xI\forall x\in I, u(x)0u(x)\geq 0
Les fonctions uu et u\sqrt u ont les mêmes variations sur II.

Démonstration :
On sépare la démonstration en deux parties :

  • On suppose que uu est croissante sur II.
    aI\forall a\in I, bI\forall b\in I,

a<bu(a)<u(b)a

De plus, u(a)>0, u(b)>0u(a)>0,\ u(b)>0 et la fonction racine carrée est croissante sur R+\mathbb R^+, donc

u(a)<u(b)u(a)<u(b)u(a)

Donc la fonction u\sqrt u est croissante sur II.

  • On suppose que uu est décroissante sur II.
    aI\forall a\in I, bI\forall b\in I,

a<bu(a)>u(b)au(b)

De plus, u(a)>0, u(b)>0u(a)>0,\ u(b)>0 et la fonction racine carrée est croissante sur R+\mathbb R^+, donc

u(a)>u(b)u(a)>u(b)u(a)>u(b)\Longrightarrow \sqrt{u(a)}>\sqrt{u(b)}

Donc la fonction u\sqrt u est décroissante sur II.

4. Variations de 1u\frac{1}{u}

Propriété :
uu est définie sur II, et xI, u(x)0\forall x\in I,\ u(x)\neq 0 et u(x)u(x) est de signe constant.
Alors les fonctions uu et 1u\frac{1}{u} ont des variations contraires.

Démonstations :
Supponsons que uu est croissante sur II.

a<bu(a)<u(b)a

u(a)u(a) et u(b)u(b) ont le même signe (dans ] ; 0[]-\infty\ ;\ 0\lbrack ou ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty\lbrack)
La fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[]-\infty\ ;\ 0\lbrack (et aussi sur ]0 ; +[]0\ ;\ +\infty\lbrack)
Donc

u(a)<u(b)1u(a)>1u(b)u(a)\frac{1}{u(b)}

En résumé, 1u\frac{1}{u} est décroissante sur II.

III. Observations des courbes

1. Positions relatives des courbes des fonctions carrée, identité et racine carrée.

La fonction ll définie par

xR, l(x)=x\forall x\in\mathbb R,\ l(x)=x

est la fonction identité.

Posons, pour x[0; +[x\in\lbrack 0;\ +\infty\lbrack

{l(x)=xc(x)=x2f(x)=x\begin{cases}l(x)=x \\ c(x)=x^2 \\ f(x)=\sqrt x\end{cases}

et notons Cl, Cc, Cf\mathcal C_l,\ \mathcal C_c,\ \mathcal C_f leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal (O;i;j)(O;\vec{i};\vec{j}).

Remarque :

  • l(0)=c(0)=f(0)=0l(0)=c(0)=f(0)=0
  • l(1)=c(1)=f(1)=1l(1)=c(1)=f(1)=1
    Les trois courbes passent donc par le point OO et le point A(1;1)A(1;1).

Pour x[0;1], x2xx\textrm{Pour }x\in\lbrack 0; 1\rbrack,\ x^2\leq x\leq\sqrt x

Pour x1, xxx2\textrm{Pour }x\geq 1,\ \sqrt x\leq x\leq x^2

2. Courbes de fonctions associées : exemples

Soit ff une fonction définie sur II et Cf\mathcal C_f sa courbe représentative.

Théorème :

  1. Soit gg définie sur II par g(x)=f(x)+k, kRg(x)=f(x)+k,\ k\in\mathbb R
    Cg\mathcal C_g est obtenue en translatant Cf\mathcal C_f d'un vecteur kjk\vec{j}.
  2. Soit hh la fonction définie sur JJ par h(x)=f(x)h(x)=-f(x). Ch\mathcal C_h est symétrique de Cf\mathcal C_f par rapport à l'axe (xx)(xx').

Exemple :
On trace les courbes représentatives des fonctions suivantes :
f(x)=xf(x)=\sqrt x, g(x)=x+2g(x)=\sqrt x +2, h(x)=xh(x)=-\sqrt{x}.

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