Sur la dérivation

Plan de cours

Résumé des notions de base sur la dérivation, sans démonstration ici.

Pour la classe de Première.

Un résumé des notions fondamentales à connaître pour le Bac.

1 - Définition

Pour une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant une valeur $x_0$ , si le taux de variation de $f$ entre $x$ et $x_0$

$\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$

possède une limite finie $a$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ , alors on dit que :

la fonction $f$ est dérivable en $x_0$ ,
le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est $a$ . On le note $f'(x_0) = a$ .

On retiendra la définition :
$f'(x_0) = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$
valable lorsque cette limite existe. En introduisant la différence $h = x - x_0$ , cette définition s’écrit

$f'(x_0) == \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}$ .

2 - Interprétation géométrique

Le nombre dérivé en $x_0$ d’une fonction $f$ , dérivable en $x_0$ , est égal au coefficient directeur de la tangente $(D)$ à la courbe représentative de $f$ en $x_0$ .

Avec $f'(x_0) = a$ , l’équation de $(D)$ est donnée par
$y = a(x - x_0) + f(x_0)$ .

Une fonction $f$ n’est pas dérivable en $x_0$ lorsque sa courbe représentative admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des ordonnées.

3 - Dérivées usuelles

Fonctions affines.

Soit $f : x \longmapsto a x+b$ . Alors, pour tout $x$ , $f$ est dérivable et on a :
$f'(x) = a$ .

En particulier, la dérivée de la fonction $f : x \longmapsto x$ est $f'(x) = 1$ pour tout $x$ .

Fonctions puissances.

Deux cas particuliers avant le cas général.

Soit $f : x \longmapsto x^2$ . Alors, pour tout $x$ , $f$ est dérivable et on a :
$f'(x) = 2 x$ .
Soit $f : x \longmapsto x^3$ . Alors, pour tout $x$ , $f$ est dérivable et on a :
$f'(x) = 3 x^2$ .

Cas général

Soit $f : x \longmapsto x^n$ avec $n \geqslant 1$ . Alors, pour tout $x$ , $f$ est dérivable et on a :
$f'(x) = n x^{n-1}$ .

Fonction inverse.

Soit $f : x \longmapsto \dfrac{1}{x}$ . Alors, pour tout $x \neq 0$ , $f$ est dérivable et on a :

$f'(x) = \dfrac{-1}{x^2}$ .

Fonctions puissances bis.

Où l’on considère les inverses des puissances.

Soit $f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^2}$ . Alors pour tout $x \neq 0$ , $f$ est dérivable et on a :

$f'(x) = \dfrac{-2}{x^3}$ .

Soit $f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^3}$ . Alors pour tout $x \neq 0$ , $f$ est dérivable et on a :

$f'(x) = \dfrac{-3}{x^4}$ .

Soit $f : x \longmapsto \dfrac{1}{x^n}$ , pour $n \geqslant 1$ . Alors pour tout $x \neq 0$ , $f$ est dérivable et on a :

$f'(x) = \dfrac{-n}{x^{n+1}}$ .

Fonction racine carrée.

Soit Soit $f : x \longmapsto \sqrt{x}$ . Alors, pour tout $x > 0$ , $f$ est dérivable et on a :

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Fonctions trigonométriques.

La fonction $f : x \longmapsto \cos x$ est dérivable pour tout $x$ , et on a :
$f'(x) = -\sin x$ .
La fonction $f : x \longmapsto \sin x$ est dérivable pour tout $x$ , et on a :
$f'(x) = \cos x$ .
La fonction $f : x \longmapsto \tan x$ est dérivable pour tout $x \neq \dfrac{\pi}{2} +k\pi$ , et on a

$f'(x) = 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ .

Opérations et dérivées.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables en $x \in I$ .

Alors

la somme $f + g$ est dérivable en $x$ et on a :
$(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ .
le produit $fg$ est dérivable en $x$ et on a
$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ .
si de plus $g(x) \neq 0$ , le quotient \dfrac{f}{g} est dérivable et on a :

$\bigg(\dfrac{f}{g}\bigg)'(x) = \dfrac{g(x)f'(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}.$

Composition avec une fonction affine.

Soit $u : x \longmapsto a x+b$ une fonction affine.
Soit $f$ une fonction dérivable en $y_0 = a x_0 + b.$

Alors, la fonction composée $g : x \longmapsto f \circ u$ est dérivable en $x_0$ et on a :

$g'(x_0) = a \times f'(a x_0 + b)$ .

4 - Usage de la dérivée

On a vu que le nombre dérivée donne la pente des tangentes à la courbe
représentative de la fonction.

Il est bien connu que le signe de la dérivée de $f$ donne le sens de variation de celle-ci.

Les valeurs en lesquelles s’annulent la dérivée d’une fonction indiquent des extrema éventuels :

si $f(x_0) = 0$ , alors en $x_0$ la fonction $f$ peut posséder un maximum ou un minimum local.

De façon précise, pour que la fonction $f$ possède un extremum en $x_0$ , il est nécessaire que l’on ait $f'(x_0) = 0$ .

Le nombre dérivé fournit aussi des approximations affines. Par exemple :

pour de « petites » valeurs de $x$ autour de $0$ et pour $n \geqslant 1$ , on a:

$(1 + x)^n \simeq 1 + nx$

pour de « petites » valeurs de $x$ autour de $0$ , on a :

$\sqrt{1 + x} \simeq 1 +\dfrac{x}{2}$

pour de petites valeurs de $x$ autour de $0$ , on a :

$\sin x \simeq x$ .

Par Zauctore